高中数学变式题组训练二
——高中数学几何知识准备平几部分

湖北 胡曙彪 吉林 邱 博 湖南 欧阳巧林 江苏 王怀学

高中数学变式题组训练二
——高中数学几何知识准备平几部分

湖北 胡曙彪 吉林 邱 博 湖南 欧阳巧林 江苏 王怀学

1.线段的比值问题：1.1平行线分线段成比例定理；1.2 直角三角形的射影定理；1.3 三角形角平分线定理.

2.三角形：2.1 “外心”是三角形的三边中垂线的交点；2.2 “重心”是三角形的中线的交点；2.3 “内心”是三角形的角平分线的交点；2.4 “垂心”是三角形的高的交点.

3.四边形：3.1 平行四边形的判定；3.2 菱形的性质；3.3 圆内接四边形的判定定理；3.4 圆内接四边形的性质.

4.圆：4.1 垂径定理；4.2 圆的切线垂直于过切点的半径；4.3 切线长定理；4.4 两圆的位置关系.

5.几个重要性质和策略：5.1 点的轨迹；5.2 常见的辅助线；5.3 两点之间线段最短；5.4 等积法求面积.

6.圆幂定理：6.1 相交弦定理；6.2 割线定理；6.3 切割线定理.

1.线段的比值问题

1.1 平行线分线段成比例定理

【证明】如图，过A作直线l∥BC，

过E作EF∥AB交BC于F，得四边形BDEF为平行四边形，∴DE=BF.

【评注】平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

【变式1】如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)．

( )

【证明】过A作AG∥DF交CB的延长线于G，则

∵AD⊥CD，E为AC中点，∴DE=EC，

∴∠EDC=∠ECD，∴∠AGB=∠ECD，

【评注】①用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意对应线段，对应边.②利用平行线等分线段定理将某线段任意等分，需要过线段的一个端点作辅助线，在作图时要注意保留作图痕迹.③证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法．

【变式2】已知△ABC，D在AC上，AD∶DC=2∶1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.

1.2 直角三角形的射影定理

【典例】如图,在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，AD⊥BC于D.

求证：(1)AB2=BD·BC，AC2=CD·CB；

(2)AD2=BD·CD.

【证明】(1)在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠B=∠B，

同理可证得AC2=CD·CB.

(2)在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠BAC=90°=∠CAD+∠BAD，

即AD2=BD·CD.

【评注】我们把这个例题的结论称为射影定理，文字表述为直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.该定理对直角三角形的运算很有用.

【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=3，则AC=________.

1.3 三角形角平分线定理

【证明】过C作CE∥AD，交BA延长线于E，如图所示.

又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,

在△BCE中，由AD∥CE,

知∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE,

∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,

【评注】该例题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.

【变式1】如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的长.

2.三角形

2.1 “外心”是三角形的三边中垂线的交点

【典例】已知O为锐角三角形ABC的外心，求证:∠BOC=2∠A.

【证明】连接AO，并延长交BC于D,连接OB,OC．

∵O为锐角三角形的外心，∴OA=OB=OC，

∴△OAB,△OAC为等腰三角形，

∴∠ABO=∠BAO,∠OAC=∠OCA,

∠BOC=∠BOD+∠DOC

=∠ABO+∠BAO+∠OAC+∠OCA

=2(∠BAO+∠CAO)

=2∠BAC,

即∠BOC=2∠A.

【评注】过不共线的三点A,B,C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

【变式1】在△ABC中，AB=AC=3,BC=2.求

(1)△ABC的面积S△ABC及AC边上的高BE；

(2)△ABC的内切圆的半径r；

(3)△ABC的外接圆的半径R.

2.2 “重心”是三角形的中线的交点

【典例】求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2∶1.

【解析】已知:D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点，求证:三条中线AD,BE,CF交于一点，且都被该点分成长度比为2∶1的两条线段.

【证明】如图，连接DE，设AD,BE交于点G，

∵D,E分别为BC,AC的中点，

∴△GDE∽△GAB，且相似比为1∶2，

∴AG=2GD,BG=2GE.

设AD,CF交于点G′，

同理可得AG′=2G′D,CG′=2G′F.

则G与G′重合，所以AD,BE,CF交于一点，且都被该点分成2∶1.

【评注】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

【变式1】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.

2.3 “内心”是三角形的角平分线的交点

【证明】(法1)作△ABC的内切圆，则D,E,F分别为内切圆在三边上的切点，

∵AE,AF为圆外从同一点作的两条切线，

∴AE=AF，

同理BD=BF，CD=CE.

∴b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD

=AF+AE=2AF=2AE.

(法2)作△ABC的内切圆，则D,E,F分别为内切圆在三边上的切点，根据切线长相等，可以设AE=AF=x，BD=BF=y,CD=CE=z,

【评注】三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.本例的结论可以作为求内切圆的切线长的公式．尤其是对于直角三角形来讲，这个公式就可以演变为直角三角形的内切圆半径公式.

【变式1】已知三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a,b,c，则三角形的内切圆的半径是________.

【变式2】若直角三角形的三边长分别为a,b,c(其中c为斜边长)，则三角形的内切圆的半径是________.

2.4 “垂心”是三角形的高的交点

【典例】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD+BC=AB，E，F为AB，CD的中点，G为AB上一点，且AG=AD．

求证：(1)AF⊥BF；

(2)FG⊥AB.

【证明】(1)∵E，F为AB，CD的中点，

∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF．

(2)∵EF∥AD,∴∠DAF=∠AFE，

∵AE=EF，∴∠AFE=∠EAF，

∴∠DAF=∠EAF，又AD=AG，

∴△ADF≌△AGF，∴∠AGF=∠ADF=90°．

∴FG⊥AB．

【评注】三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图)

【变式1】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD+BC=AB，E，F为AB，CD的中点，G为AB上一点，且AG=AD．求证：DG⊥CG．

3.四边形

3.1 平行四边形的判定

【典例】已知：在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.

(1)请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；

(2)若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？是菱形？是正方形？

【解析】(1)连接AC，

∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,

∴EF∥HG,EF=HG,

∴四边形EFGH是平行四边形.

(2)对角线AC⊥BD时，EFGH是矩形；

对角线AC=BD时，EFGH是菱形；

对角线AC⊥BD且AC=BD时，EFGH是正方形．

【评注】平行四边形的判定：

(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

【变式1】已知：如图，矩形ABCD中，E,F,G,H分别是边上的点，且AE=CG，DH=BF,求证:HG∥EF.

3.2 菱形的性质

【典例】在四边形ABCD中，AB=CD，E,F,G,H分别为AD,BC,BD,AC的中点.求证：EF⊥GH.

【证明】如图所示，连接EG，GF，FH，HE.

∵在△ABD中，E,G分别为AD,BD的中点，

∴四边形EGFH是平行四边形.

∴平行四边形EGFH是菱形.∴EF⊥GH(菱形的对角线互相垂直).

【评注】菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．要判定四边形是菱形的方法是：平行四边形一组邻边相等；平行四边形对角线互相垂直；四边都相等的四边形．菱形的性质：菱形对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．

【变式1】在四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，AC上的点，且AE∥FG,AF∥EG,AE=AF.求证：AC平分∠BAD.

3.3 圆内接四边形的判定定理

【典例】如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

(1)证明：B,C,G,F四点共圆；

(2)若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

【解析】(1)证明：∵DF⊥CE,∴△DEF∽△CDF,

∴△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF,

∴∠CGF+∠CBF=180°，

∴B,C,G,F四点共圆.

(2)由B,C,G,F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，

连接GB，由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC,

故Rt△BCG≌Rt△BFG,

因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积的2倍，

【评注】证明四点共圆的常用方法：(1)四点到一定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．

【变式1】下列命题中，真命题的个数为

( )

①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；

②矩形有唯一的外接圆；

③菱形有外接圆；

④正多边形有外接圆．

A．1 B．2 C．3 D．4

3.4 圆内接四边形的性质

( )

A．10 B．13 C．15 D．20

【解析】连接PH，CH，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH=∠A，

又CH=HA，则PA=13.故选B.

【评注】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

【变式1】如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED,CB交于点A，若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=________，CE=________．

4.圆

4.1 垂径定理

【典例】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE=2 cm，BE=6 cm，∠CEA=30°，求：

(1)CD的长；

(2)C点到AB的距离与D点到AB的距离之比．

【解析】(1)过点O作OF⊥CD于F，连接DO，

∵AE=2 cm，BE=6 cm，∴AB=8 cm,

∴⊙O的半径为4 cm,

∵∠CEA=30°，∴OF=1 cm,

【评注】垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个条件只须知道两个，即可得出另三个(平分弦时，直径除外)．

【变式1】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2+CD2=

( )

A.28________B.26________C.18________D.35

4.2 圆的切线垂直于过切点的半径

【典例】设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？

【解析】观察图，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离dgt;r时，直线和圆相离，如圆O与直线l1；当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线l2；当圆心到直线的距离dlt;r时，直线和圆相交，如圆O与直线l3.

【评注】(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

【变式1】如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA,OB于点E,F．求证：AB是⊙O的切线；

4.3 切线长定理

【典例】如图，AD，AE，BC分别与⊙O切于点D，E，F，延长AF与⊙O交于另一点G.求证：AF·AG=AD·AE

【证明】∵AD，AE分别与⊙O切于点D，E，∴由切线长定理得AD=AE,

又∵AF的延长线与⊙O交于点G，∴由切割线定理得AF·AG=AD2,∴AF·AG=AD·AE.

【评注】从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

【变式1】如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC=1，CD=3，则PB=________.

4.4 两圆的位置关系

【典例1】已知两圆的半径分别为6和4，圆心距为2，则两圆的位置关系是________.

【解析】∵d=R-r=2,∴两圆内切．

【评注】两圆半径R,r(Rgt;r)，圆心距d，从而得到关系：

外离⟺dgt;R+r；外切⟺d=R+r；相交⟺R-rlt;dlt;R+r；内切⟺d=R-r；内含⟺dlt;R-r.

【变式1】已知两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，则两圆的公切线的条数是________.

【变式2】F1,F2是半径为a的圆O内关于圆心对称的两点，P为圆内一点，且|PF1|+|PF2|=2a，求证：以PF1为直径的圆M与圆O内切.

【典例2】设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，圆心距为4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度.

【解析】连接AB交O1O2于C，则O1O2⊥AB，且C为AB的中点，

【评注】处理圆中的弦长问题时，常常求出圆心到弦的距离d,弦长的一半以及半径，利用勾股定理构建关系式求解.

【变式1】已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则弦AB的弦心距是________．

【变式2】已知两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的外公切线的长度.

5.几个重要性质和策略

5.1 点的轨迹

【典例】到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

【解析】把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；

同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.

【评注】从上面对圆的讨论，可以得出：

(1)到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹.

(2)和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹.

(3)在角的内部到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

【变式1】画图说明满足下列条件的点的轨迹：

(1)到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹；

(2)到直线l的距离等于2 cm的点的轨迹；

(3)已知直线AB∥CD，到AB,CD的距离相等的点的轨迹.

【变式2】已知线段AB=4 cm.画出到点A的距离等于3 cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2 cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3 cm，且到点B的距离等于 2 cm 的点，这样的点有几个？

【变式3】⊙O过两个已知点A,B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形.

5.2 常见的辅助线

【典例】如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD,上底CD=8 cm,下底AB=12 cm,E,F分别为AC,BD的中点．求EF的长．

【解析】取BC中点G，连接EG,FG.

∵AE=CE,CG=BG，∴EG∥AB,

同理FG∥CD,

又∵AB∥CD，∴EG∥FG,

∴E,F,G三点共线,

∵EG为△ABC的中位线,

∴EF=EG-FG=2 cm.

【评注】本例我们可以看到两个中点，想到利用三角形中位线定理解题．研究几何图形时，常见的添加辅助线的情形还有：

(1)遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连接过弦的端点的半径．

(2)遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角．

(3)遇到90°的圆周角时常常连接该圆周角所对的直径．

(4)遇到弦时常常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点．

(5)遇到有切线时：

①常常添加过切点的半径(连接圆心和切点)，作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形；

②常常连接圆上一点和切点，作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理．

(6)遇到证明某一直线是圆的切线时：

①若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径；

②若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心(即作半径)，再证其与直线垂直．

(7)遇到三角形的内切圆时连接内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段．

5.3 两点之间线段最短

【典例】如图，小河边有两个村庄A，B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．若要使厂部到A，B村的水管最省料，应建在什么地方？

【解析】如图，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．应该建在P点．

根据轴对称的性质可知PA=PA′，

∴PA+PB=PA′+PB=BA′,

如果另外任选一点P1(异于P)，连接P1A，P1B，P1A′，则有P1A=P1A′.

又P1A+P1B=P1A′+P1Bgt;BA′,BA′=PA+PB，

即P1A+P1Bgt;PA+PB，因此，PA+PB为最短.

由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置．

【评注】本题要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．也可以联想三角形两边之和大于第三边;垂线段最短也是求最小值的常用方法．

【变式1】如图，△ABC中，A,B为两定点，C是直线l上的一动点，当C点运动到何处时，△ABC的周长最短．

【变式2】如图，△ABC中，AB=2，∠A=30°，若在AB,AC上各取一点N，M，使得BM+MN的值最小，求这个最小值．

【变式3】如图，两条公路OA,OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

5.4 等积法求面积

【典例】已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h2,h3，三角形ABC的高为h，“若点P在一边BC上(如图a)，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h.”

请直接应用以上信息解决下列问题：

当(1)点P在△ABC内(如图b)，(2)点P在△ABC外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1,h2,h3与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想(不必证明).

【解析】(1)当点P在△ABC内时，h1+h2+h3=h成立.

如图，连接PA，PB，PC，

∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，

又AB=BC=AC，

∴AM=PD+PE+PF，即h1+h2+h3=h.

(2)当点P在△ABC外如图c位置时，h1+h2+h3=h不成立.

猜想：h1+h2-h3=h.

注意：当点P在△ABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如

h1-h2+h3=h，h1-h2-h3=h等(如图，想一想为什么？)

【评注】将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求各部分的面积的和，求出原来图形的面积的方法叫做分割法．

将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状．利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的方法叫做割补法．

注意：两个图形全等，它们的面积相等．等底等高的三角形面积相等．一个图形的面积等于它的各部分面积的和．

【变式1】如图，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3，则S△ADE∶S四边形BCDE等于

( )

A.2∶3 B.4∶9 C.4∶5 D.4∶21

6.圆幂定理

6.1 相交弦定理

【典例】如图，在⊙O中，M,N是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3，则线段NE的长为

( )

【解析】由相交弦定理可知，

AM·MB=CM·MD,CN·NE=AN·NB，

又∵M,N是弦AB的三等分点，

∴AM·MB=AN·NB,∴CN·NE=CM·MD，

【评注】①相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等;②相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．

【变式1】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为________.

6.2 割线定理

【典例】如图,A,B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长．

【解析】设CB=AD=x，则由割线定理得CA·CD=CB·CE，

即4(4+x)=x(x+10)，

化简得x2+6x-16=0，

解得x=2或x=-8(舍去)，

即CD=6，CE=12．

连接AB，∵CA为小圆的直径，∴∠CBA=90°，

由圆的内接四边形外角等于内对角得∠D=90°，

【评注】割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

6.3 切割线定理

【典例】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1,⊙O2于点D,E，DE与AC相交于点P．若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．

【解析】∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O2的割线，

∴PA2=PB·PD，

∵PA=AC-PC=6，

∴62=PB·(PB+9)，

∴PB=3．

在⊙O2中，PA·PC=BP·PE．

∴PE=4．

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，

∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12．

【评注】①切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的比例中项;②在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理，见到两条割线就要想到割线定理．

【变式1】如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A,B两点．已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为________．

高中数学几何知识准备参考答案

1.线段的比值问题

1.1平行线分线段成比例定理

【典例1】

1.(4) 【解析】由平行线分线段成比例定理可知(4)正确．

【典例2】

1．证明：作EG∥AB交BC于G，

2.解：假设能找到，如图，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG∥AC交BD于G.

∵EG∥AC,EF=FC，

∴△EGF≌△CDF，且EG=DC，

∴EGAD，且==,

∴E为AB的中点.

可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

1.2直角三角形的射影定理

【典例】

1.3三角形角平分线定理

【典例】

3.证明：由三角形的内角平分线定理得，

在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2=BD·BC，

2.三角形

2.1“外心”是三角形的三边中垂线的交点

【典例】

(2)如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连接IA,IB,IC，S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC，

2.2“重心”是三角形的中线的交点

【典例】

2.3“内心”是三角形的角平分线的交点

【典例】

2.4“垂心”是三角形的高的交点

【典例】

1.证明：由△ADF≌△AGF，得DF=FG，同理由△BCF≌△BGF,得CF=FG，又F为CD中点，则CF=DF，

3.四边形

3.1平行四边形的判定

【典例】

1.证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠A=∠C=90°,又∵DH=BF,∴AH=CF．

又AE=CG,∴△AEH≌△CGF,∴EH=GF，

同理可得GH=EF,∴四边形EFGH为平行四边形，∴HG∥EF．

3.2菱形的性质

【典例】

1.证明：∵AE∥FG,AF∥EG,∴四边形AEGF为平行四边形.又∵AE=AF,∴四边形AEGF为菱形.∴AC平分∠BAD.

3.3圆内接四边形的判定定理

【典例】

1.B 【解析】①错误，任意三角形有唯一的外接圆；

②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；

③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；

④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．故选B.

3.4圆内接四边形的性质

【典例】

4.圆

4.1垂径定理

【典例】

4.2 圆的切线垂直于过切点的半径

【典例】

1.证明：连接OC,∵OA=OB,AC=CB，则OC⊥AB，∴AB是⊙O切线．

4.3切线长定理

1.4 【解析】由切线长定理知PA=PB.PA切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2，∴PB=PA=2+2=4.

4.4两圆的位置关系

【典例1】

1.4 【解析】d=13gt;R+r=11,∴两圆外离，有四条公切线．

2.证明:

连接OM，由已知得，OM为△PF1F2的中位线，

∴圆M与圆O内切.

【典例2】

2.【解析】∵d2=(O1O2)2-(R-r)2=169-25=144,∴d=12．

5.几个重要性质和策略

5.1点的轨迹

【典例】

1.【解析】(1)如图轨迹为，以定点A为圆心，3 cm为半径的圆.

(2)如图轨迹为，到直线l的距离为2 cm的两条平行线.

(3)如图轨迹为，到直线AB，CD等距离的一条直线.

2.【解析】如图到点A的距离等于3 cm的点的轨迹为以A为圆心3 cm为半径的圆；到点B的距离等于2 cm的点的轨迹为以B为圆心2 cm为半径的圆，两圆交于两点．所以到点A的距离等于3 cm，且到点B的距离等于2 cm的点，有2个.

3.【解析】如果以点O为圆心的圆经过点A,B，那么OA=OB；反过来，如果一个点O到A,B两点距离相等，即OA=OB，那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过A,B两点.

这就是说，过A,B两点的圆的圆心的轨迹，就是到A,B两点距离相等的点的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹.因此经过A,B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平分线.

5.2常见的辅助线

【典例】

5.3两点之间线段最短

【典例】

1.【解析】△ABC的周长最短就是CA+CB最短.找出点A关于直线l的对称点A′,连接A′B与直线l交点就是所求的点．

2.【解析】作点B关于AC的对称点B′，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．

此时BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．只需求出B′N．

在Rt△B′AN中，由点B′与点B关于AC对称，得AB′=AB=2，

3.【解析】分别作点P关于直线OA和OB的对称点P1,P2，连接P1P2分别交OA，OB于C，D，则C,D就是建加油站的位置．若取异于C，D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C，D两点建加油站运油车所走的路程最短.

5.4等积法求面积

【典例】

1.D 【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，又∵AD∶DB=2∶3，∴相似比为2∶5，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得S△ADE∶S△ABC=4∶25，所以S△ADE∶S四边形BCDE=4∶21,故选D．

6.圆幂定理

6.1相交弦定理

【典例】

6.2割线定理

【典例】

6.3切割线定理

【典例】

1.6 【解析】由切割线定理得PT2=PA·PB，∴PB=8，故AB=6.