特殊位置助解定点定角定值

甘肃 魏正清

特殊位置助解定点定角定值

甘肃 魏正清

解析几何中的定点、定角、定值问题，是高考考查的核心题型之一，是多年高考经久不衰的热点.这类问题常常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识，以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解,解法一般来说都比较单一，虽然有通法可循，但运算量大且过程很繁琐，如何化繁为简，减少运算量，有效突破这一人人都颇感棘手的问题，是值得研究的课题，也是追求数学简洁美的根本要求.本文另辟蹊径，从特殊情形入手，先猜后证，给出处理解析几何中定点、定角、定值问题的简化策略.

1.定点问题

分析：如图，探索以AB为直径的圆是否恒过平面内一定点，通常都是先求出以AB为直径的圆方程，再利用圆系的有关知识寻求定点，难度过大，不易上手.如果寻求特殊的圆，先猜后证，就能化繁为简，将问题迎刃而解.

解：假设存在定点T(x0,y0)满足题意，设A(x1,y1),B(x2,y2).

当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=0，易知A(0,1),B(0,-1)且以AB为直径的圆C1的方程是x2+y2=1；

将圆C1与圆C2的方程联立可得交点T(0,1).

以下只需验证当直线m的斜率存在时，也符合题意.

即当直线m的斜率存在时，以AB为直径的圆也过定点T(0,1).

综上所述，存在定点T(0,1)满足题意.

【评注】证明某动曲线过平面内一定点，若从特殊情形入手，寻求符合题意的两条曲线，求出这两条曲线的交点，进而猜得定点，再加……