在高等数学教学中融入数学建模思想

刘晓波

摘 要： 在新时代背景下，大学数学建模课程的教学目的及其开设的重要性被广大教育学者所认知，将数学建模思想融入高等数学的教学改革中，不仅可以培养大学生的创新思维及科研意识，还可以调动学生的学习兴趣，树立学生团队精神.提高了高等数学教学的质量，对学生的能力提升、综合素质的培养都有着积极的作用。

关键词： 高等数学教学；数学建模

1、数学建模的内涵

数学建模是近几年发展起来的新型学科，是结合实际问题与数学理论为一体的科学. 数学建模通过建立模型来实现现实问题数学化、数学问题现实化，打破了传统枯燥、乏味、纯理论性的数学模式，是联系现实生活与数学世界之间的纽带。它针对现实生活中的一个特定对象和目的，根据事物内在规律，作出相应假設，通过合适的数学工具建立模型，进行研讨并得出结论.

数学建模一般要经历下列步骤。（1）调查研究。在建模前，建模者要对实际问题的历史背景和内在机理进行全面的调查研究。（2）抽象简化。建模前必须抓住问题的主要因素，提出必要的、合理的假设，将现实问题转化为数学问题。（3）建立模型。将问题归结为某种数学结构。（4）求解模型。要求建模者熟练地使用 Matlab、Mathtype、Spss 等软件。（5）模型分析。对求出的解，进行实际意义和数学理论方面的分析。（6）模型检验。在许多问题中，建立的模型是否真实反映客观实际需要验证。（7）模型修改。使模型中的各个因素更加合理。（8）模型应用。数学模型及其求解的目的应该是对实际工作进行指导及对未来进行预测和估计。由此可见，数学建模是一个系统的过程，在进行数学建模活动的过程中需要利用各种技巧、技能以及综合分析等认知活动。

2、数学建模的作用

随着近代数学及其应用的发展，高等数学的基本理论和思维方法已经渗透到了社会生活的各个领域之中。高等数学是大学多学科学生的一门重要的基础课程。可以培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、思维方法和知识结构的形成等方面有着其他课程无可替代的优势与作用。

我国高等数学课程在授课内容上，主要着眼于数学内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，存在重经典、轻现代，重分析、轻发现，重技巧、轻方法，重理论、轻应用的倾向。过分强调数学的逻辑性和严密性，而忽视理论背景和实际应用。不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，不能满足后续专业课的需要。同时也使学生的创造性得不到充分发挥，不利于能力的培养。

数学建模是通过对实际问题的定量分析，建立数学模型，利用数学知识解决问题的一种手段。将数学建模思想融入大学数学教学中，使抽象的概念和具体的生活事件相联系，打破以往枯燥、乏味、纯理论性的数学学习，它为数学注入了新的活力.通过对现实生活中实际问题的研究，可以开阔知识面，培养创新思维。通过小组讨论学习，共同完成研究，可以很好地树立学生团队精神。数学建模让学生了解到生活中的许多问题可以用数学知识来解决，久而久之，他们会发现数学的魅力，进而培养学习兴趣.

3、数学建模教学模式的探讨

任何一门数学分支都是人类在探索自然规律而发展起来的，所以，重要概念的提出、公式和定理的推导以及整个分支理论的完善都是前人对现实问题进行数学建模的结果。如何将前人的建模思想在传授知识的过程中再现给学生，可以通过如下两个途径来实现。

一是尽量用原始背景和现实问题，直观的演示引入定义、定理和公式，然后再由通俗的描述性语言过渡到严谨的数学语言。这样不仅使学生真正了解到知识的来龙去脉，熟悉了这类问题的本质属性，学会了如何从实际问题中筛选有用的信息和数据，建立数学模型，进而解决问题。

二是精选应用例题，进行建模示范，启发学生用数学解决实际问题的意识。遵循减少经典、增加现代、减少技巧、增加应用的原则。，使学生体验到应用数学解决实际问题的乐趣，加深对知识的理解。

4、高等数学教学中的教学案例

4.1微积分教学中的案例

高等数学的背景包含了大量前人数学建模的过程，蕴藏着丰富的创造性思维的轨迹。“无穷小量分析”和“微元分析”是微积分学的主要思想方法，微分和积分的基本概念就是运用这两个思想方法，在解决实际问题中，分析和处理变与不变、直与曲、局部与全局、近似与精确、有限与无限的矛盾中建立和发展起来的。

设计如下教学过程：（1）实际问题。如何求曲边梯形的面积？（2）引导学生利用“无限细分、化整为零、以直代曲取近似、无限积累聚零为整取极限”的微积分的基本思想，得到问题的表达式。（3）概括总结，抽象出数学模型，引出定积分定义。（4）回到实际问题。数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于采用定量的方法去分析和解决。

又例如，教材中以“ε-δ”、“ε-N”语言给予形式化精确描述的极限概念，由于这种描述高度抽象与概括，造成初学者难以用自己的思想去思考、理解它的含意。如果我们从刘徽的“割圆术”讲起，并利用课件进行动态数值模拟演示，尽可能地向学生展示极限定义的形成过程，挖掘极限定义的实质，然后再利用极限语言给出准确的定义，从而使学生理解“极限”这个概念模型的构建过程。这样既省时又直观，教学效果自然更佳。

我们再来看一个关于零点存在定理的实例：

零点存在定理：设 f（x）∈C[a，b]，若 f（a）·f（b）<0，则至少存在一点 ξ∈（a，b），使f（ξ）= 0。

这个定理很抽象，我们先从简单的题型讲解，然后再拿出实例去运用这个定理。举例：一登山运动员从早上七点开始攀登某座山峰， 在下午七点到山顶，第二天早上七点再从山顶开始沿着上山的路下山，下午七点到达山脚，这个运动员会在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一点吗？

要解决这个问题，首先要找到运动员在上山和下山时，时间与路程的函数关系，建立数学模型，再思考解答。

不妨设登山员从山顶到山脚经过的路程为 S， 他爬山经过 Δt 时间走的路程为 f（Δt），下山时经 Δt 时间走的路程为 g（Δt）。于是， 当 Δt=0 时，就有 f（0）=g（0）=0，并且有当 Δt=12 时，这是他走完全程所用的时间，就有 f（12）=g（12）=S。

建立了模型后，接下来解决这个问题：

假设路途是连续的，那么就有 f（Δt），g（Δt）在区间

[0，12]上是连续的，只要说明存在一点 Δξ 属于开区间（0，12），使 f（Δξ）

+g（Δξ）=s，就证实了他在这两天某同一时刻经过了路线的同一点。

這样建立数学模型，利用闭区间连续函数的零点存在定理就解决了这个登山问题了，将数学建模的思想应用到枯燥乏味的高等数学课程中。既增加了课堂的趣味性，又让学生学会了定理，也使他们初步了解了数学建模。

4.2. 线性代数和空间解析几何教学中的案例

在讲 Gauss 消元法时，介绍计算机层析 X 射线照相术。教学过程：（1）实际问题。计算机层析扫描仪根据仅从病人头外部测得的 X 射线，来计算此病人大脑的图像，这样做合理吗？（2）模型建立。引导学生用点线图（点代表人体某个器官，线代表X 射线）来描述扫描仪的工作原理，建立相关的线性方程组。（3）模型求解。利用刚学的 Gauss 消元法求解。（4）模型分析。解释计算机层析 X 射线照相术的合理性。

这种给形式化的抽象的数学问题赋予实际意义的做法，使学生认识到数学既源于生活、又高于生活，缩小了抽象数学与现实之间的差距。让学生领悟到简单的数学知识也能应用到神秘的仪器中，学习线性代数的愉悦感油然而生。

4.3 常微分方程教学中的案例

建立常微分方程，解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。因此，教师在传授常微分基础理论的同时，还应多花时间讲授在实际问题中那些可用此方法建模、如何提炼出微分方程模型。下面以分离变量法的教学为例。

设计如下教学过程：（1）实际问题。根据估计，中国总人口的峰值年是 2044 年，人口数达到 15.6-15.7 亿。如何建立一个数学模型，合理的论证估计及如何准确定位、保持人口合理增长？（2）模型基本假设。假定人口总数是随时间连续可微地变化，并假定单位时间内人口增长量与当时的人口成正比。（3）模型建立。引导学生用微分来刻画人口增长率，用一阶齐次微分方程建立模型。事实上就是著名的 Malthus 人口模型。（4）模型求解。让学生利用刚学过的分离变量法求解。（5）模型分析与检验。让学生课后查阅计划生育委员会的统计数据，进行检验及完善。

这种将数学问题赋予生活内涵的教学法，可唤起和支配学生学习数学和研究的兴趣。更重要的是，在人口统计方面的惊人数字给学生的震撼力，可引导着学生关注社会、关注未来。

4.4 运筹学教学中的案例

运筹学是一门应用性很强的数学科学，目前几乎涉及社会的各个方面。运筹学在解决实际问题时，按研究对象的不同所采取的建模方法各异。运筹学模型可分为确定性模型和随机性模型。确定性模型包括：线性规划模型、目标规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、网络分析中的模型。随机性模型包括：动态规划模型、排队论模型、存储论模型、对策论与决策论中的模型。因此，从一定意义上说，数学建模属于运筹学的一部分，所以，教师在运筹学的教学中更应该突出数学建模的思想，强化数学建模能力，增强数学应用意识。教师在讲授运筹学时，遵循如下步骤。（1）提出和形成问题。尽可能选取贴近学生实际的问题。（2）建立模型。引导学生分析问题的要旨，用准确的数学语言表述，建立模型。（3）模型求解。让学生利用 Lindo、Lingo 或 Matlab 求解。（4）解的检验。对学生的所做结果给出及时的肯定和指正。（5）解的控制和实施。

5、反思和展望

数学建模不仅是数学知识的应用和升华，而且是一种数学思想的表达和教学方法，实际上基本概念、公式、定理都是一个数学模型。所以，数学教学的实质就是数学模型教学。在教学过程中贯穿数学建模的思想和方法时，应注意如下几点。（1）模型的选题要大众化。应选择密切联系学生，有趣味、实用的数学建模内容。（2）设计有新意的例子，启发学生积极思考，发现规律。举例宜少而精，忌大而泛。（3）从现实原形出发，引导学生观察、分析、概括、抽象出数学模型。（5）循序渐进，由简单到复杂，逐步渗透，逐步训练学生用数学建模知识解决现实生活中的问题。

目前大部分高校都开设了“数学建模”选修课，但仅此一举，对培养学生能力所起的作用是微弱的。一方面，由于“数学建模”所包含的内容非常广泛，对不同问题分析的方法又各不相同，真正掌握难度很大。另一方面，数学建模教育实质上是一种能力和素质的教育，需要较长的过程。因此解决这一问题的有效办法是在整个数学教学中渗透数学建模思想，介绍数学建模的基本方法。

参考文献

[1]严培胜. 数学建模与大学数学教育[J]. 湖北经济学院学报（ 人文社会科学版） ，2010（5） .

[2]杨降龙，赵国俊，杨帆. 数学建模思想在大学数学教学中的渗透[J]. 南京工程学院学报（ 社会科学版） ，2009（4） .