基于Radon反演的CT成像

张立臣

摘要： CT断层成像技术能够依据探测器接收经扫描物体对X射线吸收衰减之后的能量，依据外部投影所得数据重新建物体内部结构图像。通过对一个正方形托盘中未知介质扫描所接收信息的研究，建立基于Radon反演的图形重建模型，得出重建后CT图像，进而得出未知介质在正方形托盘中的位置和几何形状，并对图像进行灰度化处理，得出图像内各点的灰度值，并以正方形中心为原点建立直角坐标系，然后设定阈值将灰度值转换为吸收率，并在这一坐标系下表示出所给所接收信息的10个位置的坐标，观察点的位置与CT图像的位置关系，得出各点吸收率等信息。此方法的应用能够很好的解决有关CT图形重建的问题。

关键词：关键词1；关键词2；图形重建 关键词3；Radon 关键词4；CT成像。

中图分类号：[R445.6] 文献标识码：A 文章编号：

0 引言

CT又称为计算机断层成像技术，它能够依据探测器接收经扫描物体对X射线吸收衰减之后的能量，依据外部投影所得数据重新建物体内部结构图像。其中最经典的二维CT系统为平行入射，平行入射的X射线垂直于探测器入射，利用样品对射线能量的吸收特性对样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。而每个探测器具有512个接收单元且等距排列，X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转。对每一个X射线方向，探测器测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过处理后得到多组接收信息。

1 模型准备

1.1 投影成像问题

1.1.1 CT成像

通过X射线探测器探测未经过介质衰减之前的X射线的光子数I0，并且探测改变系统方向后经过此位置的所有射线L的I（L），根据I0和I（L）得到线性衰减系数的分布μ（x）的值或其近似值，即根据P（L）对μ（x）的值或其近似值进行重新构建[1]。

如果将需成像区域进行像素离散操作，将在μ（x）像素处的值进行灰度化处理，得到衰减系数的分布图像。CT图像重建过程可以简化为由众多的P（L）重新建立μ（x）的图像问题。所以，通过最理想化的假设下，CT图像是X射线经过某介质后线性衰减系数的分布图像，因为射线能量的衰减与介质本身属性有关，所以该方法能够表征介质的内部机构。

1.1.2 平行束投影变换及其反演

对固定的角度φ，r变化时Φ得到一束平行射线，简称平行束。对固定的被称为沿方向的平行束投影。也被成为函数的Radon变换，记为。于是，当射线用参数表示时，CT成像问题成为“由一组平行束投影重建的问题”。

2.2Radon变换及其逆变换

CT技术发展主要依据Radon变换的数学理论基础，该方法以数学的方法上证明了某种物理参量（如一个介质衰减系数的分布）的二维分布函数，由该函数在其定义域内所有线积分来确定。如图1所示，二维平面内的一条直线与轴夹角为，原点到L的垂线距离为、直线上的点也可以用极坐标来表示。Radon变换具体内容如下：

式（1）即为Radon变换，是指二维分布函数在一定角度下的线积分，即实际的投影，式（2）为Radon逆变换，相对CT图形重建来说，此逆变换具有很重要的指导意义，通过收集不同的投影角度下数据可以重建出物体的断层图像[2]即。

2 图形重建

探测器参数标定

已知在整个发射-接受系统中，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列，共有512个等距单元；另外，系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。根据探测器单元在此方向上检测到的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量；每一行代表一个探测器单元在180个方向上检测到的射线能量。

3 结论

本文给出了经典CT系统的图像重建的方法，针对平行入射的X射线运用此模型能清晰的得到未知介质的几何形状、具体位置和重建后图像在256*256像素下的吸收率信息，对未知介质的分析有很好的作用。并且经Radon反演模型对大量的探测值进行处理，不仅得到未知介质的空间几何信息，而且从最后得出的重建后的图像本文也可以得出介质表面是否均匀、介质内部是否空余等内部信息。能够有效地解决了CT系统参数标定及成像问题。

致谢：

河北省教育厅项目（QN2016088）、华北理工大学研究生创新项目（2017S03）、河北省研究生创新项目（CXZZSS2017071）资助。

[参考文献] （References）

[1] 毛小渊. 二维CT图像重建算法研究[D]. 南昌航空大学， 2016.

[2]Natterer F. The mathematics of computerized tomography[M]. Philadelphia： Society for Industrial and Applied Mathematics， 2001.

[3]張俊，闫镔，陆利忠，李磊，张峰. 一种锥束CT系统几何参数标定方法[J]. 核电子学与探测技术，2014，34（02）：235-238.

[4] 郭立倩. CT系统标定与有限角度CT重建方法的研究[D]. 大连理工大学， 2016.