不确定过程中增长性定理的一个证明

刘 乐, 贾耿华

(1.洛阳师范学院数学科学学院, 河南洛阳 471934； 2.洛阳理工学院数理部， 河南洛阳 471023 )

不确定过程中增长性定理的一个证明

刘 乐1, 贾耿华2

(1.洛阳师范学院数学科学学院, 河南洛阳 471934； 2.洛阳理工学院数理部， 河南洛阳 471023 )

不确定变量用来描述非确定性现象， 不确定过程就是一列随时间或空间变化的不确定变量.本文对不确定过程的增长性态进行研究， 并给出相关证明.

不确定变量; 不确定过程; 增长性态

刘宝碇教授[1]于2007创立了不确定理论， 用以研究人类的主观不确定性.作为处理主观判断或专家数据等不精确信息的新工具， 不确定性理论已引起了越来越多学者的关注， 已经成功应用于不确定规划[2]、 不确定金融[3-4]、 不确定微分方程[3-4]等等领域中.

1 基本概念

定理1.1[1]令(Γ,L)是可测集， L是Γ的σ-代数， 称Λ∈L为一个事件， 用M(Λ)来表示相信一个事件Λ会发生的信度. 如果M满足以下几条公理:

公理1.(正规性)M(Γ)=1；

公理2.(自对偶性)对任意事件Λ， 有

M(Λ)+M(Λc)=1；

定义1.1[1]不确定变量是从不确定空间(Γ, L, M)到实数集R的一个可测函数， 也就是说， 对任意R中的Borel集B， 集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一个事件.

不确定积分是指不确定过程关于典范过程的积分.2009年， 刘宝碇教授[8]给出了一种重要的不确定过程典范过程的定义.

定义1.2[8]假设不确定过程Ct满足如下三个条件:

(1)C0=0， 几乎所有的轨道Lipschitz连续；

(2)Ct具有独立稳态增量；

定理1.2[1](MarkovInequality)设ξ为一个不确定变量， 任给t>0和p>0， 我们有

2 不确定过程增长性定理

对于所有的t>0.

对所有的ε>0， 令

于是

又

等价于

(3)由(1),(2)即可推得

再由t(τ)的定义得

从而有

3 结论

本文对不确定过程的增长性态进行了研究， 给出了证明过程， 为以后的不确定微分系统性能分析奠定基础.

[1] Liu B. Uncertainty Theory[M]. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2007.

[2] Zhu Y. Uncertain optimal control with application to a portfolio selection model[J]. Cyber-netics and Systems， 2010，41(7)：535-547.

[3] Liu B. Uncertainty Theory: A branch of mathematics for modeling human uncertainty[M]. Springer-Verlag, Berlin, 2010.

[4] Peng J， Gao Y. A new option pricing model for stocks in uncertainty markets[J]. International Journal of Operations Research, 2011，8(2)：18-26.

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[6] Tao N， Zhu Y. Attractivity and stability analysis of uncertain di_erential systems[J]. InternationalJournal of Bifurcation and Chaos, 2015，25(2)：1550022-1.

[7] Tao N， Zhu Y. Stability and attractivity in optimistic value for dynamical systems with uncertainty[J]. International Journal of General Systems, 2016，45(4)：418-433.

[8] Liu B. Some research problems in uncertainty theory[J]. Journal of Uncertain Systems, 2009， 3(1)：3-10.

The Proof of Growth Theorem of Uncertainty Process

LIU Le1, JIA Geng-hua2

(1. College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China; 2. Department of Mathematics and Science, Luoyang Institute of Science and Technology, Luoyang 471023, China)

Uncertain variable is used to represent quantities with uncertainty. An uncertain process is essentially a sequence of uncertain variables indexed by time. In this paper, we will study the growth state of the process, and give the corresponding proof.

uncertain variable; uncertain process; growth state; corresponding proof

O231

A

1009-4970(2017)11-0019-03

2017-03-29

洛阳师范学院教改项目(2016xjjg033)

刘乐(1979—)， 女， 河南洛阳人， 硕士， 讲师. 研究方向： 运筹与控制论方面.

[责任编辑 胡廷锋]