微分方程边值问题的研究及发展

游丽霞 宋娟

摘 要：常微分方程边值问题作为微分方程研究的一个重要方面，是常微分方程学科的重要组成部分之一，本文将阐述微分方程边值问题的研究及发展。

关键词： 微分方程 数学模型 边值问题

在自然科学和技术科学的许多领域中，例如物理、力学、化学、生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。这些现实生活中的实际问题都必须通过建立数学模型来实现。许多数学模型也都是通过微分方程来描述的。因此常微分方程是现代数学的一个重要分支，而常微分方程的边值问题作为微分方程研究的一个重要方面，在其研究领域中居于重要地位。

新加坡学者 R.P.Agarwal和爱尔兰学者D.O'regan对于常微分方程边值问题的研究作出了巨大的贡献。他们写了大量的论文和著作，例如《Singular Differential and Integral Equation with Application》[1]，本书非常全面地研究了常微分方程边值问题，重视其应用性，实际例子较多。除了R.P.Agarwal和D.O'regan外，国内外许多专家学者也在从事着常微分方程边值问题的研究。

对于常微分方程两点边值问题已得到了充分的研究，并且取得了许多优秀的研究成果。关于多点边值问题的研究最初是在1987年 Il'in和 Mosieev[2，3]提出的二阶线性常微分方程多点边值问题，该问题起源于“非局部”边值问题，具有较强的实际背景：如由不同密度组成的部分横切面的天线振动和弹性理论中的许多问题都可以归结为多点边值问题。它同时也出现在用分离变量法求解偏微分方程自由边值问题的过程中。然后C.P.Gupta[4]在1992年就开始研究了非线性常微分方程的三点边值问题，从此以后非线性常微分方程的边值问题成为了微分方程领域中十分重要的研究领域。近几年来，常微分方程多点边值问题的解的存在性的研究引起了许多数学工作者广泛的兴趣，他们在多点边值问题方面作了很多的工作并且取得了许多的研究成果。

C.P.Gupta在文[4]中讨论了非线性二阶三点边值问题的解的存在唯一性，考虑下面的二阶三点边值问题

后来马如云、刘斌、W.Feng等也对三点边值问题作了一系列的研究，取得了丰富的研究成果。

马如云在文[5]中考虑下面的二阶三点边值问题

采用锥拉伸锥压缩定理讨论了边值问题的正解存在性。

自从 C.P.Gupta開始研究非线性常微分方程三点边值问题解的存在性以来，许多学者相继利用 Leray-Schauder不动点定理、Leray-Schauder非线性抉择定理和迭合度理论等方法研究了更一般的非线性多点边值问题，得到了一些结果。不动点定理被广泛地应用于微分方程边值问题的研究，也成为了讨论边值问题正解存在性的一个常用的理论依据。国内外研究边值问题多数以一个已知的不动点定理为依据，设定方程中函数所满足的条件，这样往往会受制于不动点定理特定条件的限制，不得不对方程中的函数施加不必要的限制。微分方程边值问题的研究一方面使得不动点定理得到应用，又一方面不断地提出新的有待解决的问题，推动不动点理论的完善与提高。

非线性分析是现代数学中一个重要的研究方向，而非线性泛函分析是分析数学中既有深刻理论意义又有广泛应用价值的重要分支学科，它具有丰富的理论和先进的方法.目前非线性泛函分析研究的主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调型映射理论等，并且这些理论在微分方程方面的应用，引起了广大学者的密切关注。新的领域有新的问题被提出，近年来，分数阶微分方程边值问题作为非线性性微分方程边值问题，成为了微分方程理论中的一个重要课题，它是整数阶微分方程边值问题的推广.随着科学技术的不断发展，非线性分数阶微分方程边值问题也广泛的被应用到很多学科，如：物理学、生物学、天文学等研究领域.非线性泛函方法是研究分数阶微分方程边值问题的重要工具， 文[6]中用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、上下解方法、单调迭代方法等研究了几类非线性分数阶微分方程（系统）边值问题解（正解）的存在性、唯一性等。

除了分数阶微分方程边值问题被研究外，非线性脉冲微分边值问题也是研究的热点之一，在文[7]中作者用上下解的方程研究了非线性脉冲微分方程两点边值问题正解的存在性。共振是自然界的常见现象，反映在数学模型上就是微分方程共振边值问题，共振边值问题也是微分方程边值问题中的重要分支，关于解的存在性的研究也得到了一些新的结论。文[8]利用Leggett-Williams不动点定理、Mawhin连续性定理及其推广形式、临界点理论等方法在共振、非共振情况下对几类微分方程边值问题解和正解的存在性进行研究，在一定的条件下得到解和正解的存在性结果。

关于常微分方程边值问题的研究已有很多结果，非线性微分方程一直是研究的热点，还会不断在新的领域出现新的问题，还有许多的问题待解决，比如高阶分数阶微分方程，高级共振边值问题等等相关问题值得去研究和探索，新的问题也将不断出现，需要在新的领域去探索和研究。

参考文献：

[1]R.P.Agarwal， D.O'regan. Singular Differential and Integral Equations with Application. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers， 2003.

[2]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the second kind for a sturm-liouvilleoperator.Differential Equations ，1987， 23（8）：979-987.

[3]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the first kind for a sturm-liouville operator in its differential and finite difference aspects. Differential Equations， 1987，23（7）：803-810.

[4]Gupta.C.P. Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a second orderordinarydifferential equation.J.Math.Anal.Appl.1992 168：540-557.

[5]R.Ma. Postive Solutions of a nonlinear three-point boundary value problems.ElectronJ.Diff.Eqns ，1999，34：1-8.

[6] 谭静静关于分数阶微分方程边值问题解的研究 北京林业大学博士论文2016

[7] 安超，闫宝强 非线性脉冲微分方程边值问题正解的存在性应用泛函分析学报2017.12

[8] 吴彦强微分方程边值问题的解和正解的存在性 中国矿业大学博士论文 2016

课题：2018年湖北省教育厅科学技术研究项目

课题名称：三维单调动力系统的应用，项目编号：B2018123

作者简介：

游丽霞（1980-05），女，汉族，湖北武汉人，讲师，硕士，主要从事微分方程边值问题的研究

宋娟（1981-02），女，汉族，湖北武汉人，讲师，博士，主要从事数学教育研究