平面钢框架弹塑性分析的塑性区法

(广西大学 广西 南宁 530000)

平面钢框架弹塑性分析的塑性区法

兰天李雍友

(广西大学广西南宁530000)

本文基于三段式线性分布模型，考虑塑性沿杆长度方向的渐变过程，推导了平面钢框架的弹塑性单元刚度矩阵，利用C源程序编制了平面钢框架弹塑性分析的QR计算格式。该方法可以综合考虑材料非线性和几何非线性的影响，具有求解未知量少、计算精度高等优点。

平面钢框架；弹塑性；QR法；程序设计

一、前言

传统的塑性铰模型[1]限定了塑性沿杆长度方向的发展，而塑性区模型[2]则可以很好地描述这一过程。基于塑性变形理论的三维壳单元模型[3]和基于梁柱理论的梁柱单元模型[4]的分布刚度模型需要对杆件进行很多单元的划分，同时对截面也需要划分为很多网格纤维，求解时需要进行大量复杂的积分运算才能得到弹塑性刚度矩阵，计算效率低下。相较于传统的有限元分析方法，利用QR法进行考虑非线性问题[5]的平面钢框架分析则可以极大地提升计算效率，降低计算成本[6]。

二、三段式线性分布刚度模型

图1 三段式分布刚度模型

如图1所示，一等直截面杆AB长为l，杆件的两端发生塑性变形，其塑性区的长度分别为li，lj，中间弹性部分的长度为l0，左右两端的截面抗弯刚度分别为EIi、EIj，截面抗拉(压)刚度为EAi、EAj，中间段的截面抗弯刚度EI0，截面抗拉(压)刚度EA0，假设截面刚度由杆端塑性区过渡到中间弹性区的变化规律为线性变化。

截面抗弯刚度沿杆长的分布可以用下式表示：

(1)

同理，截面抗拉(压)刚度沿杆长的分布可以用下式表示：

(2)

假设弯矩沿单元长度的变化近似为线性变化，则塑性区的长度可按式(3)、式(4)计算，见图2。

li=(|Mi|-|Mj|)/(|Mi|+|Mj|)·l

(3-4)

图2 单元弯矩分布模型

三、弹塑性单元刚度矩阵

与有限元方法相同的思路，单元刚度矩阵按式(5)计算

(5)

将上述刚度分布式带入到式(5)中，最终推导所得的结果为：

其中：

四、程序设计流程

图3 平面钢框架结构弹塑性分析的流程图

五、算例分析

文献[7]中Vogel六层两跨框架进行对比分析，可以得到图5、图6的顶点位移图。

图4 一阶弹塑性分析框架顶层侧移与荷载因子曲线

图5 二阶弹塑性分析框架顶层侧移与荷载因子曲线

由图5可知，对六层两跨钢框架结构进行一阶弹塑性分析时，本文的计算结果与有限元模拟的结果和文献[7]计算的结果基本吻合，本文计算极限承载力与文献[7]误差为3.2%，与有限元的误差为1.8%。

由图6可知，考虑二阶效应时，弹塑性分析的承载力大于仅考虑二阶弹性时的承载力，结构整体极限承载能力降低，延性增大。且本文考虑几何非线性时的顶层侧移量大于文献[7]的计算结果。

六、结论

本文基于QR法编制了平面钢框架结构非线性分析的C语言程序，并对典型算例进行分析，得出如下结论：平面钢框架结构QR法与有限单元法相比，需要的单元数量少，求解精度高，采用QR法对六层两跨钢框架结构分析时仅需划分42个单元，而用有限软件分析至少需要划分上千个单元才能达到相同的精度，QR法所需内存仅为有限元的0.1%，在减少内存使用量的同时也提高了计算速度。

[1]吴可伟.空间杆系结构的弹塑性大位移分析[D].清华大学,2012.

[2]Nguyen P C,Doan N T N,Ngo-Huu C,et al.Nonlinear inelastic response history analysis of steel frame structures using plastic-zone method[J].Thin-Walled Structures.2014,85(85):220-233.

[3]Avery P,Mahendran M.Analytical Benchmark Solutions for Steel Frame Structures Subject to Local Buckling Effects[J].Advances in Structural Engineering.2000,3(3):215-229.

[4]F C W.Advanced analysis in steel frames[M].Boca Raton:CRC Press,1993.

[5]李辉.钢结构非线性分析[J].科技与企业.2014(15):105.

[6]李秀梅.高层钢框架结构的新方法研究[D].南宁:广西大学,2008.

[7]黄哲华.平面半刚性连接钢框架抗震分析的Pushover-QR法[D].广西大学,2010.