例谈函数导数压轴题的解题突破策略

广东省佛山市第一中学(528000) 吴统胜

考生对函数导数压轴题是有恐惧心理的,思维强度大,题型多,方法性强而灵活,解题突破口不易找寻,常需适当变形转化证明,对数学能力的要求相当高,肩负名牌学校的选拔重任!但压轴题还是有其规律性的,只要我们充分利用好导数这个工具,做好题型的归类和方法总结,掌握好通性通法,如构造函数法、常见函数型不等式放缩法、主元法、分离变量法等方法,加强对转化与化归、数形结合、函数方程、分类讨论等数学思想方法的渗透,辅之以一定量的强化训练,有助于学生快速找寻解题思路和方法,克服对压轴题的恐惧心理,尖子生利用函数导数压轴题得高分也是可能的,更是必然的!

笔者在[1-2]两篇文章中,对函数型不等式压轴题的证明方法进行了较详细的探究、优化、拓展推广,总结了该类函数型不等式压轴题的一般化、“套路化”的解法.本文笔者结合高考题对函数导数压轴题的解题突破策略做了更深入、更详尽的总结提升.下面举例说明函数导数压轴题的几种解题突破策略!

一.解题突破策略

解题突破策略一直接构造函数法

例1(2013年课标II理科21)已知函数f(x)=ex−ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;

(2)当m≤2时,证明:f(x)＞0.

解析(1)略;

(2)当m≤2时,

构造函数φ(x)=ex−ln(x+2),转化为求证φ(x)min=φ(x0)＞0,但使对应的x0不易求出,需利用零点存在定理及设而不求法求得最小值,只要证明φ(x)min=φ(x0)＞0.其证明过程如下:

当m≤2时,

设φ(x)=ex−ln(x+2),则在(−2,+∞)上单调递增.又φ′(−1)＜0,φ′(0)＞0,所以φ′(x)=0 在(−2,+∞)上有唯一实根,且x0∈(−1,0).当x∈(−2,x0)时……