一道关于求弦长习题的思考

摘 要：弦长问题是高中数学教学的重点内容，如何引导学生用正确的方法求直线与曲线相交的弦长，方法不唯一，但是每种方法适用的条件把握不清，往往是学生走入解题误区的重要原因之一。本文就一道关于直线参数方程与圆的弦长习题解答过程进行分析。

关键词：弦长；参数方程；条件

直线与曲线（圆、圆锥曲线等）相交于两点，则两点之间的距离称为弦长。在高中教学中，弦长问题是重点，也是高考的热点之一，但求弦长的方法根据已知条件的不同而选择不同。如何把握条件、发展条件和分析条件是解决这类问题的关键，现以教学中一道关于直线参数方程与圆的弦长习题解答，用两种方法进行求解，但是答案却出现两个。

问题：已知直线x=2-12t

y=-1+12t（t为参数）与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的长。

分析：该问题是一个常规的问题，难度不是很大，而解答的方法很多，下面分别用两种方法进行求解。

解法一：把x=2-12t

y=-1+12t代入x2+y2=4得

（2-12t）2+（-1+12t）2=4

整理得t2-6t2+2=0 （1）

设方程（1）的两根为t1、t2，得

t1+t2=--61=6，t1t2=21=2

所以|AB|=|t1-t2|=27

所以弦AB的长为27。

解法二：如图，直线x=2-12t

y=-1+12t化为普通方程得x+y-1=0，与圆x2+y2=4相交于A、B两点，圆x2+y2=4圆心坐标为（0，0），半径r=2，过圆心O（0，0）作直线OP⊥AB于P点，连接AO，则

OP=|0×1+0×1-1|12+12=22

所以在Rt△OAP中，由勾股定理得

AP=72=142

由垂径定理得AB=2AP

所以弦AB的长为14。

以上两种解法得到不同的答案，从思路上看，两种解法几乎没问题，那么哪一种解法是正确的呢，解法二属于常规解法，答案是肯定正确的，解法一的思路是应用人教版选修44第二讲第三节“直线的参数方程”。探究（1）的结论，是哪一步出现了错误导致结果错误呢？下面具体对直线参数方程与曲线参数方程求弦长问题进行分析。

已知直线l的倾斜角为α，过定点（x0，y0），则直线的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（α为参数），直线l与曲线f（x，y）=0相交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2，则曲线的弦M1M2的长是多少？

分析：根据上述问题的已知条件，可设M1，M2两点的坐标分别为（x0+t1cosα，y0+t1sinα）、（x0+t2cosα，y0+t2sinα），则根据两点间的距离公式可得

M1M2=（x0+t1cosα）-（x0+t2cosα）2+（y0+t1sinα）-（y0+t2sinα）2

=cos2α（t1-t2）2+sin2α（t1-t2）2

=（t1-t2）2（cos2α+sin2α）

因为cos2α+sin2α=1，（t1-t2）2=|t1-t2|

所以M1M2=|t1-t2|

现在再观察解法一的过程不难看出，错误点在默认为只要是直线x=x0+at

y=y0+bt（t为参数）与曲线f（x，y）=0相交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2，则曲线的弦M1M2=|t1-t2|，这种观点显然是错误的，因為仿照分析的推导过程容易得M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2。

在已知习题中，a=-12，b=12，|t1-t2|由解法一得27，所以AB=27×-122+122=27×22=14。

根据上述的分析过程，对直线x=x0+at

y=y0+bt（t为参数）与曲线f（x，y）=0相交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2，则曲线的弦M1M2=（t1-t2）2（a2+b2）=|t1-t2|a2+b2，经过验证该结论是正确的，因此解法一的错误之处即是默认为a2+b2=1，而实际a2+b2=-122+122=12≠1。

以上是就一个习题的错误解法进行分析，在解决数学问题时，首先要把握好条件，在方法的选择上严格把握满足条件的方法，不能只从形式上定方法，习题中的解法一就是因为只从形式上定方法从而导致错误。数学问题的解决，主要由已知条件入手，由已知条件确定方法，这样就会减少结果错误的几率，由此，在数学教学中，重要的不是给学生讲解多少习题，而是帮助学生如何分析条件和发展条件，确定解决问题的方法，从而达到做一个题会一类题的效果。

作者简介：

李加发，贵州省黔西南布依族苗族自治州，贵州省安龙县第四中学。endprint