动摩擦作用下含间隙碰撞振动系统的动力学分析

张艳龙， 唐斌斌， 王 丽， 杜三山

(1. 兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2. 兰州城市学院 数学学院，兰州 730070)

含摩擦及间隙的碰撞振动机械系统普遍存在工程应用中，如制动振动与尖叫、冲击旋转钻井、装于滑动轴承上的大型高速转子的油膜振荡、离合颤振、机器人关节处的摩擦诱导振动、噪声控制等。摩擦及间隙构成的强非线性系统，吸引了众多国内外学者致力于建立不同的力学模型和摩擦模型，来研究摩擦及间隙对系统动力学的影响。文献[1]研究简化制动系统在周期激励下的周期运动，通过非光滑动力学系统的理论讨论了在不连续边界的运动转换；文献[2]从一类轴承模型中简化出含间隙及摩擦的单自由度碰撞振动系统，进行动力学分析发现黏着的存在，并且可以用来预测螺栓的松动；文献[3]研究单边约束的两自由度塑性碰撞振动系统，分析分段特性、擦边奇异性和参数变化对碰撞振动系统的影响；文献[4-5]利用含有干摩擦的Filippov振动系统研究滑移分岔和混沌动力学行为；丁旺才等[6]结合Lyapunov指数数值仿真分析了两自由度干摩擦振动系统的动力学响应得到系统经周期运动失稳通向混沌的道路；钱大帅等[7]利用谐波平衡法研究了干摩擦振子双黏着运动响应的级数形式解及对黏滑边界的分析。上述文献建立和研究不同含有静摩擦及间隙的力学模型，分析和解释工程中的振动和噪声。

随着研究的深入，建立起更加系统的摩擦模型，描述不同实验观察到的摩擦现象是研究摩擦不稳定性的一个重要组成部分，不同摩擦模型决定了摩擦力的本质特性。静摩擦模型主要取决于摩擦接触表面的相对速度，如经典的库伦摩擦模型，Stribeck摩擦模型[8]等；动摩擦模型其摩擦力不仅与运动速度和正压力有关系，还与运动物体与接触面之间的内部变量(如两接触表面的粗糙度)有重要的关系，典型的动摩擦模型如Lugre动摩擦模型[9]及Dankwoicz动摩擦模型[10-13]。多数文献以静摩擦模型作为摩擦力来源分析系统中含摩擦的动力学行为，将本身具备动力学特性的摩擦模型引入系统中较少。为了研究传动带表面粗糙度对摩擦、整个振动系统的影响，本文引入Dankwoicz动摩擦模型(将表面粗糙度简化为鬃毛刚度(Bristle Stiffness)和鬃毛阻尼(Bristle Damping)，从而更加接近实际工况)，利用数值仿真，探讨单自由度含间隙及动摩擦系统存在的摩擦诱导振动现象，从而分析摩擦在强非线性含间隙的碰撞振动系统的动力学行为。结果表明，系统存在摩擦诱导黏滞擦边分岔和摩擦周期倍化分岔等分岔形式。摩擦诱导振动在相空间的存在形式复杂多样，从相图可得出，摩擦诱导振动存在稳定周期运动、概周期摩擦诱导黏滞擦边振动、摩擦诱导黏滞混沌振动等摩擦运动现象。将动摩擦模型运用到此类系统模型中可以更好地描述摩擦诱导振动现象。

1 力学模型

图1 含摩擦的碰撞振系统力学模型Fig. 1 Vibro-impact system with friction mechanical model

1.1 运动方程和摩擦模型

系统运动方程为

(1)

质块为M的振子在|X|=D处发生碰撞，碰撞后速度发生改变，构成具有非光滑特性的非线性系统，根据碰撞定律可得

(2)

Dankowicz动摩擦模型不同于仅取决于速度的静摩擦模型，动摩擦模型深入到微观，从宏观和微观两方面探讨摩擦性质，动摩擦模型本身具有动力学特性，能够更加深入地描述两物体接触面之间的摩擦状态，应用到此类力学模型中能够更全面地反映出摩擦诱导振动特性。支配摩擦力的方程为

(3)

(4)

状态变量Y的运动由式(5)支配

(5)

1.2 系统无量纲及运动过程分析

取无量纲参数及变量为

系统运动的无量纲微分方程为

(6)

(7)

Dankowicz动摩擦模型无量纲为

(8)

(9)

(10)

(11)

对振子M作简单的受力分析，令Fnf表示合力，由弹簧弹性力、阻尼力、摩擦力及简谐激振力作用在振子上，其表达式为

(12)

如果当振子第i次接触约束面时，振子与带的相对速度为零或在零附近波动，振子所受合力小于零

(13)

质块将会在约束面处发生颤振或黏滞，直到振子所受合力的方向发生改变，振子重新回到振动状态。

如果当振子第i次接触约束面时，振子与带的相对速度为零或在零附近波动，振子所受合力大于等于零

(14)

质块M将不会在约束面处发生颤振或黏滞，振子所受合力会将质块M从颤振或黏滞状态拉离约束面，在此类情形下，系统易发生擦边诱导振动行为。

2 Dankowicz动摩擦模型对系统的影响

2.1 摩擦诱导黏滞擦边振动

选取系统参数①：ξ1=1，σ=0.01,ξ2=4,k0=1,δ=0.000 1,fR=4,γ=3 000,p0=3,α=0.6μβ,v=0.1,R=0.8,β=100,y∞=2 000,σ1=10,d=0.2, 以激振频率ω作为系统控制参数，系统运动全局分岔图如图图2所示，分析Dankowicz动摩擦模型对系统产生的摩擦诱导黏滞擦边振动的影响。图3(a)呈现出当激振频率到ω=3.7，系统发生周期1-1-1-0运动，发生反对称无摩擦黏滞振动；系统发生周期2-2-2-1黏滞振动，系统的运动状态变成稳定的单周期运动，周期数、碰撞次数及摩擦诱导振动次数减少，如图3(b)所示；随着系统控制参数变化到ω=2.5，图3(c)呈现出系统发生周期2-2-3-2摩擦诱导黏滞擦边振动，发生此类动力学行为，由于振子与带的相对速度为零或在零附近小幅度颤振且振子的运动位移接近约束面，恰好合力方向发生改变，振子开始以相反方向运动，发生振子与约束面擦切，其运动状态由式(14)决定；系统在运动过程中发生周期6-10-10-5摩擦诱导黏滞振动如图3(d)，当质块运动到约束面处，在①处发生颤振黏滞，其运动状态由式(13)决定，直到振子所受合力的方向发生改变，振子重新回到振动状态。随着不同控制参数ω的变化，从相图反映出Dankowicz动摩擦模型对系统动力学行为的复杂影响。

图2 系统运动全局分岔图Fig. 2 System global bifurcation diagram

图3 系统运动相图Fig.3 System phase diagram

2.2 摩擦诱导黏滞混沌振动

选取系统参数②：ξ1=1，ξ2=1,k0=1,σ=0.01,μ=0.3,δ=0.000 1,γ=3 000,fR=3,d=0.2,R=0.8,p0=2,α=0.6μβ,v=0.1,y∞=2 000,σ1=10,β=100,以激振频率ω作为系统控制参数，分析Dankowicz动摩擦模型对系统产生的摩擦诱导混沌振动的影响。数值仿真呈现出系统的摩擦诱导振动相图如图5(a)～图5(f) 及时间历程图5(g)和图5(h)，系统运动全局分岔图如图4所示，发生周期倍化等常规的分岔路径，黏滞振动在分岔图上未能直观地表现出来。然动摩擦模型作用到质块上，系统的运动轨迹在相图中从黏滞周期振动通往黏滞混沌振动的现象得到很好的呈现。系统分别在激振频率ω=2.8和ω=2.78处发生周期运动1-1-1-0和2-2-2-0周期运动，无摩擦黏滞振动如图5(a)～图5(b)。相图5(c)～图5(g)呈现出摩擦诱导周期黏滞振动通过周期倍化通往摩擦诱导黏滞混沌振动，系统的动力学行为在频率1.781～2.01变化，呈现出周期数、碰撞次数及摩擦诱导黏滞振动次数同步周期倍化的复杂动力学行为。在图5(c)～图5(d)中①处发生摩擦振动碰撞约束面，由式(13)决定，当振子的相对速度为零或在零附近波动，振子所受合力小于零，振子就会滞留在约束面，直到合力方向发生改变。图5(e)～图5(f)呈现出摩擦诱导黏滞混沌振动的复杂运动形式，且呈现出不同形式的黏滞混沌运动状态。图5(g)和图5(h)所示的时间历程图刻画了振子周期1-1-3-2摩擦诱导黏滞碰撞振动现象，表明系统存在复杂摩擦诱导黏滞混沌运动。

图4 系统运动全局分岔图Fig. 4 System global bifurcation diagram

图5 系统的运动相图和时间历程图Fig. 5 Phase and history diagram of system

3 系统关键参数对动力学行为影响

选取上述两组系统参数分别分析了动摩擦对系统动力学行为的影响。系统存在摩擦诱导黏滞混沌振动、摩擦诱导黏滞擦边振动及概周期摩擦黏滞振动等复杂动力学行为。进一步了解其他关键参数对系统动力学特性的影响，如带速vb和间隙d的影响。

3.1 带速vb对系统动力学行为影响

此类简化系统模型中，带速直接影响振子的摩擦自激振动特性，分析带速的变化引起系统的动力学变化是必要的，带速的大小不同，直接决定了摩擦诱导振动的位置及振动的幅值。选取系统参数③：fR=4,p0=3,α=0.6μβ,ω=2.2,y∞=2 000,σ1=10,ξ1=1,ξ2=4,k0=1,σ=0.01,δ=0.000 1,γ=3 000,d=0.2,R=0.8,β=100。以带速vb作为分岔控制参数，分析带速vb对系统动力学行为的的影响。数值模拟呈现出系统的全局分岔图和局部周期倍化分岔图如图6(a)～图6(b)所示；摩擦诱导振动相图6(c)～图6(h)表示具有不同周期数及不同振动次数的摩擦相轨迹，不同带速引起的概周期摩擦诱导黏滞振动，反映出带速对系统运动的重要影响。图6(c)给出系统在参数vb=0.1下，发生概周期瞬时摩擦诱导振动；图6(d)呈现出振子在vb=0.2时振子与带的相对速度为零，振子发生概周期摩擦诱导黏滞振动，在①处发生颤振碰撞约束面，由式(13)决定；图6(e)呈现出振子在vb=0.3时，发生黏着颤振运动，摩擦振动次数与周期数一致；随着带速增加，图6(f)呈现出系统发生周期3-3-9-1运动，即发生一次黏滞；图6(g)呈现出系统在vb=0.5时，发生概周期摩擦诱导黏滞振动；随着带速的进一步增加，图6(h)呈现出vb=0.7时的周期3-3-8-3黏滞振动。

图6 带速对系统黏滞振动响应Fig. 6 Belt velocity on sticking vibration of system

3.2 间隙d对系统动力学行为影响

机械系统中，制造、装配及运动等原因造成系统中不可避免的存在间隙，系统中含有间隙构成了系统运动具有非光滑特性的非线性动力学行为，探讨间隙对系统的影响是关键的。以系统参数1为基础，以间隙d分岔控制参数，分析d系统运动的动力学行为影响。系统的全局运动分岔图如图7(a)所示，从分岔图看出系统随间隙d变化复杂，没有出现常规的分岔路径，随间隙d化时存在的摩擦诱导黏滞振动以相图的方式呈现，图7(b)呈现出系统在间隙d=0.1时，振子发生周期1-2-5-1黏滞振动；图7(c)展示出间隙时，系统运动在①处发生概周期瞬时摩擦诱导擦边振动，其运动状态由式(14)决定；随着间隙增大到d=0.4时，系统呈现出周期1-1-1-0无摩擦振动如图7(d)。间隙d对系统动力学行为有着复杂的影响。

图7 间隙对系统黏滞振动响应Fig.7 Clearance on sticking vibration response of system

4 结 论

研究一类由阻尼和弹簧组成的含有非光滑特性间隙和摩擦的非线性动力学系统。其中，摩擦由本身具有动力学特性的Dankowicz动摩擦模型支配。利用数值仿真方法，给出振子运动判断条件，分析系统含摩擦产生的摩擦诱导振动动力学现象。数值仿真结果表明，系统呈现周期摩擦黏滞振动运动经倍周期分岔通向混沌道路的演化过程，及存在不同运动形式的摩擦诱导黏滞混沌振动。系统存在复杂多样的摩擦诱导振动形式，稳定周期摩擦振动、概周期瞬时摩擦振动、概周期摩擦黏滞振动及摩擦诱导擦边碰撞振动等。另外，振子所受合力及速度的变化，当振子第i次发生碰撞时，若振子的合力小于零，振子会滞留于约束面处，发生颤振碰撞；若振子所受的合力大于等于零时，振子发生摩擦诱导擦边振动行为。以激振频率为分岔控制参数，当参数大于临界阈值时，无摩擦黏滞振动发生。动摩擦模型运用到此类系统模型中可以更好地描述摩擦诱导黏滞振动现象。

[ 1 ] LUO A C J,THAPA S. Periodic motions in a simplified brake system with a periodic excitation [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2009, 14(5): 2389-2414.

[ 2 ] CONE K M, ZADOKS. A numerical study of an impact oscillator with the addition of dry friction [J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 188(5): 659-683.

[ 3 ] LUO G W, LÜ X H, MA L. Periodic-impact motions and bifurcations in dynamics of a plastic impact oscillator with a frictional slider [J]. European Journal of Mechanics- A/Solids, 2008, 27(6): 1088-1107.

[ 4 ] SOOBBARAYEN K, BESSET S, SINOU J J. Noise and vibration for a self-excited mechanical system with friction [J]. Applied Acoustics, 2013, 74(10): 1191-1204.

[ 6 ] 丁旺才, 张有强. 干摩擦对碰撞振动系统周期运动的影响分析[J]. 振动与冲击, 2009, 28(6): 110-112.

DING Wangcai, ZHANG Youqiang. Analysis of dry friction on vibro-impact system period motion effect [J].Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(6): 110-112.

[ 7 ] 钱大帅，刘占生，刘镇星, 等. 干摩擦振子双黏着运动响应的级数形式解及黏滑边界分析[J]. 振动与冲击, 2013, 32(9): 73-78.

QIAN Dashuai, LIU Zhansheng, LIU Zhenxing, et al. Series solution of double-stick motion response of dry friction oscillator and stick-slip boundary analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(9): 73-78.

[ 8 ] LIU Y, EKATERINA P, MARIAN W, et al. Forward and backward motion control of a vibro-impact capsule system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2015, 70(4): 30-46.

[ 9 ] HOFFMANN N P. Linear stability of steady sliding in point contacts with velocity dependent and LuGre type friction [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301(3/4/5): 1023-1034.

[10] DANKOWICZ H. On the modeling of dynamic friction phenomena [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1999, 79(6): 399-409.

[11] DANKOWICZ H, NORDMARK A B. On the origin and bifurcations of stick-slip oscillations [J]. Physica D Nonlinear Phenomena, 2000, 136(3): 280-302.

[12] ARGATOV I, BUTCHER E A. On the iwan models for lap-type bolted joints [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(2): 347-356.

[13] SAHA A , WIERCIGROCH M, JANKOWSKI K, et al. Investigation of two different friction models from the perspective of friction-induced vibrations [J]. Tribology International, 2015, 90(10): 185-197.