位移加载时的塑性优化设计中改进的盘格抑制方法的有效性研究

摘 要：针对位移加载时的非线性材料结构，本文采用ESO方法进行塑性拓扑优化设计。通过对算例的数值模拟结果进行分析，验证了改进的棋盘格抑制方法在位移加载时的有效性。为相关研究人员在以后进行有关问题的研究时，提供一定的理论依据。

关键词：位移加载，塑性设计，棋盘格抑制方法，有效性

1 引言

结构的轻量化研究现如今已变得日益重要，尤其在汽车、航空航天等领域，结构自重的减小，就意味着有更多的承载空间。拓扑优化设计是在结构的初始拓扑关系未知的情况下，寻求结构的组成材料在设计空间的拓扑形式，以实现最佳传力路径，从而达到节约材料用量、减轻结构自重的目的。拓扑优化很大程度上能够保证结构后续的尺寸和形状优化在初始拓扑最优的情况下进行，对于所设计产品的有效性往往具有决定性意义[1，2]。

目前对于线弹性材料的拓扑优化研究已经很多，H.A. Eschenauer等[1]和M.P. Bendsoe等[3]给出了比较详尽的论述。对于非线性优化设计的研究还相对较少，文献[4， 5]考虑结构的动力学响应特性，对防撞击结构进行了非线性优化设计，得到了更符合实际的拓扑构型。

但上述文献甚至现有的大多数文献所进行的非线性优化研究，仅考虑了力加载的情形，未考虑位移加载的情形。然而，对于某些结构的设计，比如防撞结构，考虑位移加载的情形会更符合实际。在这方面，X. Huang等[6]采用改进的BESO （Bidirectional Evolutionary Structural Optimization）方法进行了塑性优化设计研究，得到了优于只考虑材料线性时的优化结构。

棋盘格是采用固定有限元网格进行拓扑优化时在优化结构中出现的一种数值不稳定现象，使得优化后的结构单元呈现出类似棋盘格式的排列，从而造成结构形状的提取及制造都比较困难，因此在拓扑优化中应尽量避免[7]。棋盘格的产生本质上来说是数值误差造成的，Li等[8]专门针对ESO（evolutionary structural optimization）法提出了一种简单实用的棋盘格抑制方法，其核心是尽可能的校正有限元近似所产生的数值误差从而抑制棋盘格的出现。文献[9]提出了一种灵敏度高阶再分配方法，对棋盘格的抑制也具有较好的效果。但文献[8，9]并没有从一般意义上给出权重因子的解析表达，从而使棋盘格抑制方法在实际编程应用时受限。文献[7]在文献[8]的基础上针对权重系数的计算，提出了物理意义明确且更具一般性的公式，并将该方法应用到了力加载情形下的非线性材料的拓扑优化，得到了较好的抑制效果。但这种改进的棋盘格抑制方法是否同样适用于位移加载时的情形，仍需作进一步验证。

本文采用ESO法，对位移加载情形下的非线性材料结构进行拓扑优化，通过对数值算例的分析，验证了改进的棋盘格抑制方法在位移加载时的塑性优化设计中的有效性，为以后相关学者在进行位移加载的塑性优化设计研究时，提供一定的理论参考。

2 刚度优化的数学模型

结构刚度是结构的一个重要性能指标，反映结构在一定载荷条件下抵抗变形的能力。以材料用量为约束、以最大化结构刚度（即最小化结构柔度）为目标的优化是拓扑优化研究中最常见的一种类型[10]。在材料用量约束条件下，刚度优化的数学模型为：

式中C为结构柔度，F为节点载荷矢量，U为节点位移矢量，Vi为第i个单元的体积，V*为给定的材料用量，δi 为设计变量（表示第i个单元的存在状态），n为离散结构的单元总数。结构的塑性设计未被反映在优化模型中，而是反映在有限元的迭代计算中。

3改进的棋盘格抑制方法有效性的算例验证

算例采用文献[7]提出的改进棋盘格抑制方法，以验证该方法在位移加载情形下的有效性。

算例：待优化结构如图1，为一矩形横截面的简支梁，横截面尺寸为100mm×10mm，其它几何尺寸如图所注。在梁底部的中间位置施加位移载荷u。本例中材料模型仍取双线性材料模型，如图2所示，弹性模量E0=210GPa，泊松比μ=0.3 ，硬化模量Er=2445MPa，屈服应力σs=275 MPa。将设计域划分成1600个面积相同的正方形单元，单元边长5mm，单元类型为四节点的PLANE42。

本算例进行了未采用抑制方法和采用改进的抑制方法的结构拓扑优化， u分别取1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm、4mm，所得的拓扑构型分别如图3 （a）～（g）、4 （a）～（g）所示。

分析图3（a）～（g）、6（a）～（g）各拓扑构型图可知，虽然图3各图并没有明显的棋盘格式，但图3（a）、（b）、（g）存在单节点连接单元或微小孔洞，这些在结构设计中都应该避免，并且图3中结构内部构型比较复杂，不易制造。對图4各构型图分析可知，拓扑构型相比于图3比较简单，结构的提取和制造都相对容易，且不存在单节点连接的单元和内部微小孔洞。此外，除图4（a）外，图4（b）～（g）的各图具有相似的拓扑构型（但不完全相同，这是由于塑性设计对所给定的位移载荷有依赖关系[11]），而图3（a）～（g）则无此规律。这也从侧面说明了采用改进的抑制方法所得到的拓扑构型的合理性。据上分析可知，改进的棋盘格抑制方法对于采用位移加载方式进行的非线性优化设计也具有很好的抑制效果，显示了该棋盘格抑制方法的有效性。

4结论

本文采用ESO方法对位移加载情形下的非线性材料结构进行拓扑优化，并采用文献[7]提出的改进的棋盘格抑制方法进行棋盘格的抑制，验证了该改进的棋盘格抑制方法的有效性。本文的验证性研究可以为以后的相关研究人员在进行有关位移加载情形的塑性优化设计的研究时，提供一定的参考依据。

参考文献：

[1]Hans A Eschenauer， Niels Olhoff. Topology optimization of continuum structures： A Review[J]. Appl Mech Rev， 2001， 54（4）： 331-389endprint

[2]罗震. 基于变密度法的连续体结构拓扑优化设计技术研究[D]. 博士学位论文. 武汉：华中科技大学，2005

[3] M. P. Bendsoe， O. Sigmund. Topology Optimization： Theory， Methods and Applications [M]. Springer， 2003

[4] R.R.Mayer，N.Kikuchi，R.A.Scott. Application of topological optimization techniques to structural crashworthiness[J]. Int. J. Numer. Meth. Engng， 1996， 39： 1383-1403

[5] N.M.Patel， B.S.Kang， J.E.Renaud， A.Tovar. Crashworthiness Design Using Topology optimization[J]. J. Mechanical. Design， 2009， 131：1-12

[6] X. Huang， Y.M. Xie. Topology optimization of nonlinear structures under displacement loading [J]. Engng Struct， 2008， 30： 2057–2068

[7] 豆麟龙，尹益辉，刘远东.结构拓扑优化中棋盘格抑制方法的研究[J].应用数学和力学，2014，8（35）：920-929

[8] Li Q， Steven G P， Xie Y M. A simple checkerboard suppression algorithm for evolutionary structural optimization [J]. Struct Multidisc Optim， Springer-Verlag， 2001， 22：230-239

[9] 郭中泽，陈裕泽，张卫红，邓克文.渐进优化法的一种高阶棋盘格式抑制方法[J]. 机械设计. 2006，23（5）：1-4

[10] G.P. Steven， Q. Li， Y.M. Xie. Multicriteria optimization that minimizes maximum stress and maximizes stiffness [J]. Computers and Structures， 2002 ， 80：2433-2448

[11] J.Kato，A.Lipka，E.Ramm. Multiphase material optimization for fiber reinforced composites with strain softening[J]. Struct .Multidisc. Optim， 2009， 39（1）： 63–81

作者簡介：

豆麟龙，工程力学硕士，主要研究方向工程结构的力学性能分析，现任职于四川建筑职业技术学院。endprint