微分中值定理及其应用

摘 要：本文简单介绍了微分中值定理中几个定理之间的关系，同时给出了微分中值定理在高等数学中的一些应用。

关键词：高等数学；微分中值定理；应用

微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，这一组中值定理是微分学的理论基础，在微分中值定理中拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系，泰勒中值定理建立了函数值与高阶导数之间的关系。

一、 微分中值定理间的关系

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。在这一系列定理中拉格朗日定理处于核心地位，因为在拉格朗日定理中，如果f（a）=f（b），那么就可以得到罗尔中值定理，柯西中值定理是其推广形式，另外如果把泰勒定理中的n看作0就可以得到拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。它们之间的关系如下表所示：

定理1：设f（x），g（x），φ（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）=0

证明：作辅助函数F（x），

令F（x）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f（x）g（x）φ（x），显然F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，又因为F（a）=F（b）=0，根据求导法则和罗尔定理知，ξ∈（a，b），使得

F′（ξ）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）

特别的：

（1）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），f（a）=f（b），可得到罗尔定理的结论：f′（ξ）=0

（2）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），可得到拉格朗日中值定理f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）

（3）若令φ（x）=1，g（x）≠0，x∈（a，b），则有f（a）g（b）1

f（b）g（b）1

f′（ξ）g′（ξ）0=0，从而可得到柯西定理f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）

二、 微分中值定理的应用

微分中值定理在高等数学中的地位是不容置疑的，且在解题中的应用也是十分广泛的，微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

1. 利用中值定理证明不等式

利用中值定理证明不等式的关键是首先利用中值定理得到等式。然后根据中值ξ的取值范围对所得等式进行适当放大或缩小即可得到要证明的不等式。

【例1】 设a>b>0，证明：a-ba

证明：令f（x）=lnx，利用拉格朗日中值定理，有ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=f（a）-f（b）a-b ，即a-bξ=lna-lnb=lnab

又因为ξ∈（b，a），那么有1a<1ξ<1ba-ba

從而有a-ba

2. 证明含f′（ξ）及f（ξ）的关系式

欲证明结论为“至少存在一点ξ∈（a，b）使某个等式成立”，其证明的一般方法是：第一步构造辅助函数F（x）；第二步验证F（x）满足中值定理的条件。

【例2】 设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）上可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

证明：方法一：证k=bf（b）-af（a）b-a，将其变形得到bf（b）-kb=af（a）-ka

令F（x）=xf（x）-kx，且有F（b）=F（a），那么F（x）

在[a，b]上满足罗尔定理条件，于是ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=0

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

方法二：令F（x）=xf（x），则F（x）在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，ξ∈（b，a）使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

3. 证明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k

【例3】 设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1，证明必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0

证明：∵f（x）在[0，3]上连续，∴f（x）在[0，2]上连续，根据连续函数的性质知，f（x）在[0，2]上必有最大值M和最小值m，那么m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，

则m≤f（0）+f（1）+f（2）3≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使f（c）=f（0）+f（1）+f（2）3=1

因为f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，所以由罗尔定理知，必存在ξ∈（c，3）（0，3），使f′（ξ）=0

【例4】 设函数f（x）在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=0，f′（0）=0，证明在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使f（ξ）=3

证明：f（x）在x=0点的泰勒展开式为

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+f（η）3！x3①

其中η在0与x之间，x∈[-1，1]，在①式中分别取x=1与x=-1得

1=f（1）=f（0）+f″（0）2+16f（η1），0<η1<1②

0=f（-1）=f（0）+f″（0）2-16f（η2），-1<η2<0③

②-③得f（η1）+f（η2）=6。由f（x）在[-1，1]上的连续性，知它在[η1，η2][-1，1]上存在最大值M和最小值m，故有m≤12[f（η1）+f（η2）]≤M

再由闭区间[η1，η2]上连续函数f（x）的介值定理，知ξ∈[η1，η2][-1，1]使得f（ξ）=12[f（η1）+f（η2）]=3

一般来说，证明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k时，如果n=0，那么利用介值定理能够得证，而当n=1时，需要利用拉格朗日中值定理，当n≥2时，往往需要应用泰勒公式，需要强调的是，当利用泰勒公式时，点x0的选取是关键。

参考文献：

[1]刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报（自然科学版），2007，23（5）：79-81.

[2]张天德.高等数学辅导[M].沈阳：沈阳出版社，2015.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者简介：

魏建刚，平顶山工业职业技术学院。