由一道高考题谈平面向量问题的通性通法

曹东方��

摘要：为探讨2017年江苏高考理科数学第12题的多种解法，本文通过分析平面向量的本质，阐述了从数和形的角度来解决本例的几何法和代数法，总结了平面向量问题的通性通法。

关键词：平面向量；通性通法；几何法；代数法

首先看一道高考题：

2017江苏，理12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°。若OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m+n=。

下面来看本题给出的标准解答：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根据向量的分解，

易得ncos45°+mcosα=2

nsin45°-msinα=0，即

22n+210m=2

22n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0。即得m=54，n=74，所以m+n=3。

对本题的再回顾本题考查的知识点是平面向量的表示。平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结合。因此，能否从“数”与“形”的角度来思考本题呢？也就是说，解决平面向量问题的通性通法是什么呢？如果理清了这个问题，那么所有有关平面向量的一类问题都可以寻找到一个突破口，进而得到解答。下面以这一道高考题为例，笔者谈一谈这个通性通法。

在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。笔者认为包含两个方面的含义：第一是从某一个知识出发引出的若干思考；其次是解决一类问题的一般思维出发点。理解通性通法的本质，其实就是吃透知识点的本质。题目仅仅是知识点的载体，就像我们说平面向量是数和形的载体一样，平面向量的本质就是数和形。从数的角度看，解决平面向量的方法就是建立平面直角坐标系，用坐标表示有关向量，进而进行坐标运算，从而解决问题；……