用典型的数学方法解决物理问题培养发散思维

摘 要：解决物理问题不一定全是用物理方法，思维发散，采用数学方法解决，是对数学知识的迁移，也是两种学科知识的融合，对学生发散思维的培养具有不可替代的作用。

关键词：数学方法；物理问题；发散思维

在求解物理问题过程中如果能与数学知识进行灵活整合，充分发挥数学的作用，建立对应的数学模型，找到相应的数学规律，数学思维也能解决物理问题。解决物理问题采用数学方法表现为：学会根据数学方法采用例如数学函数知识、图像法等，通过物理量之间的关系式推导得出物理结论，并能直观表达分析。常用的数学方法有微元法、估算法、函数法、数列法等。解决物理问题不一定全是用物理方法，思维发散，采用数学方法解决，是对数学知识的迁移，也是两种学科知识的融合，对学生发散思维的培养具有不可替代的作用。

可以将采用数学方法解决物理问题的过程用以下流程表示：实际问题抽象概括找到数学规律，推理演算到数学模型的解，还原说明到实际问题的解。

微元法是分析和解决物理问题的常用方法，“微元法”是将复杂的物理过程分割成微小的过程，即微小的元素，又都遵循相同的数学物理规律，使之可以化曲为直，使变量或难以确定的量成为常量、容易确定的量。使用微元法解决一部分物理问题能够简化物理模型，对所学所知规律进行再思考和再联系，可提高物理问题解决的发散思维。

比如人教版必修1第一章在定义瞬时速度时采用的方法就是极限法，当时间趋近于无限小，趋近于0时，求得的平均速度就可以当成是瞬时速度。匀变速直线运动的位移与时间的关系是利用图像的微元法定义的。

一、 微元法思维的运用

在香港本节的教材是这样处理的，让学生动手操作，将纸条裁成许多相同宽度的长方形，然后往梯形上贴，学生会发现，长方形宽度越小，分割的越多，整体面积越接近于梯形面积。根据微元法探究出的结论是：物体做匀变速直线运动时，物体的位移对应着v-t图像中图线与时间轴之间包围的梯形面积。该方法解放了学生的思维，学会从数学层面去解决物理实际问题，从图像上解决“位移”和“面积”的关系，提高了物理问题解决的速度和准确性。这样的定义采用了数学方法，是思维充分发散的结果，是创造性的体现，物理规律可以从数学方法得到，发散思维得到了提升。

古时，微元法已有采用。“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”数学家刘徽首创了“割圆术”，他计算得出圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值（3.1416）。

例题1 求解一质点从实心长方体的A点沿着表面运动到对角点B，此过程的位移大小和最短路程。长方体的三条边长分别为a、b、c（a>b>c）。

[点评]该题实际是用数学方法解决物理问题，需要学生联想到数学问题，将长方体上下两个面展开画一条直线。最近距离也就是路程的概念，构成一个直角三角形，求直角三角形的斜边。从新的角度思考，训练了发散思维。

二、 函数思维的运用

在中学物理中常用的数学方法有均值不等式、二次函数的性质、求导数、因式分解、三角函数、有关圆的知识、数形结合思想等中学数学知识。

例题2 某一质点的位置坐标随时间变化规律是x=-3t2+3（m），沿y轴做直线运动，t的单位为秒。关于该质点的运动，正确的是（ ）

A. 质点一直向y轴的正方向运动

B. 质点从y轴坐标O点开始运动

C. 在最初的1 s内，质点的位移大小是0 m，位移的方向与y轴的正方向相反

D. 在最初的2 s內，质点的位移是2 m

本题采用的方法是利用二次函数，画出抛物线开口向下的图线，找出对称轴和y轴交点，利用公式，找到对称轴，对称轴右边是递减函数，所以选择C。解决物理问题的过程，常常涉及数学函数问题，如果学生能发散思维，问题解决将会更为准确、迅速。

例题3 整个空间为竖直向下的匀强磁场，固定一个开口向下半径是R光滑半球，放置于水平面上。有一质量为m的小球P，电荷量是+q，使该球在球面上做水平匀速圆周运动，圆心为O′。圆周上任一点到球心O的连线和竖直方向的夹角为θ（0<θ<π/2）。令小球能够在该圆周上运动，求小球运动的速率和磁感应强度的大小的极值。重力加速度取g。

[函数图像分析]通过已知条件可画出运动示意图，该小球在球面上的匀速圆周运动的圆心为O′。分析出P处受到重力、洛伦兹力和支持力分别为mg、f=qvB、N。其中受到的磁场的作用力f，方向指向O′利用牛顿第二定律解答列出关系式两个方向上满足：Ncosθ-mg=0向心力公式f-Nsinθ=mv2/Rsinθ从而球在球面上的速度v2-qBRsinθv/m+qRsin2θ/cosθ=0如果小球在球面上运动，速度肯定为有实数解，Δ=qBRsinθvm-4gRsin2θcosθ≥0，得解：B≥2mqgRcosθ。所以此时磁感应强度大小的最小值是：Bmin=2mqgRcosθ，该小球此时的速度大小是：v=gRcosθsinθ。

点评：本题根据数学典型的二次函数y=ax2+bx+c如果a>0，x=-b/2a时，y有最小值，为ymin=（4ac-b2）/4a；如果a<0，-b/2a时，y有极大值，为ymax=（4ac-b2）/4a。

注释：本题是数学思想“数形结合”在解物理题中的应用。物理解题过程中，恰到好处地运用这一思想，有时能达到事半功倍的效果。从物理问题过渡到数学问题，是对思维的较高要求。

无论是采用数形结合、函数法还是微元法等数学方法解决物理问题，都需要学生具有良好的数学基础，同时具备清晰的物理概念和规律。教师训练学生发散思维的过程中，让学生体会到数学方法解决物理问题的重要性，学生在以后的问题中会更为主动的采用数学方法，并且体会到解决问题的成就和快乐，发散思维随之提升。

参考文献：

[1] 李德虎.数学物理方法简介[J].陕西教育学院学报，2002，8.

作者简介：

杨燕燕，江苏省南京市，南京市文枢高级中学。endprint