基于优化算法的能量等值延性指标评价

林煌斌， 唐寿高

(1.同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092；2.集美大学 工程学院，福建 厦门 361021)

恢复力本构关系是力学与结构领域的重要问题.结构设计采用结构抗震性能响应计算方法的准确性与可靠性仍需要充分的评估，美国规范FEMA[1]中建议尽快建立结构响应预测的准确性和地震不确定性的评估框架，结构非线性分析中应着重评价构件弹塑性变形程度及其可能破坏部位[2].基于构件实际承载力，分析变形薄弱部位并提出相应加强措施，结构通过构件变形耗能来确保大震下具有良好抗震性能，承载体系中最重要的结构柱应具有良好弹塑性变形延性以及能量耗能延性.

延性性能是目前评价结构弹塑性抗震性能的最重要指标，而延性指标是描述延性性能的重要载体.经过分析，计算延性指标可采用收敛准则“实际和模型曲线闭合双能量等值”和“实际和模型曲线闭合双能量和最小”的双能量等值法延性系数(图1)，图1中,δy为屈服位移，δmax为最大位移，Qy为屈服荷载，Qmax为极限荷载，L1和L2为拟合骨架曲线双能量等值的动态方程线.该方法求解的极限承载延性指标最接近于描述拟静力试验柱的实际规律，双能量等值法得到美国规范FEMA[3]推荐.本文采用基于双能量等值法的延性指标μΔe评价结构柱的弹塑性极限承载性能，但是基于双能量等值法的延性系数计算方法应用于弹塑性数值分析难度较大，且控制影响因素较多，所以本文采用优化算法分析预测研究.基于美国太平洋地震工程研究中心(PEER)数据库[4-5]与前期试验研究[6]建立试验数据库，影响拟静力试验柱的位移延性系数主要因素[7]有剪跨比λ、强度等级fc、轴压比n0、纵筋率ρl和箍筋率ρw.本文基于不同算法分析，主要采用遗传优化多层前馈型算法(genetic algorithm-back propagation,GA-BP)研究五参数(λ-fc-n0-ρl-ρw)对结构柱μΔe的影响规律与预测，得到双能量等值延性指标的评价算法，可预测评价新型高强结构柱的极限承载延性性能.

图1 基于双能量等值法的极限承载延性指标图

1 多层前馈BP算法建模与延性评价

1.1 多层前馈(BP)算法模型研究与流程设计

优化算法[8]具有高度非线性及自适应性[9]，表

BP计算中权值wij和阈值θj持续得到修正，使网络输出与目标输出不断拟合逼近，最终得到逼近预测数据存在规律的网络结构与参数，BP算法求解误差函数最小值问题，采用非线性规划最速下降法[13]，按误差函数的负梯度方向修改权值wij.本文采用BP(levenberg-marquardt[14]，简称L-M)算法，经测试L-M收敛速度最快，收敛精度最高，但存在收敛速度较慢且易限于局部极小值状态等不足之处.

1.2 BP算法构建与参数优化设计

BP算法预测结构柱的双能量等值法延性指标μΔe的算法步骤程序设计流程实现如图2所示.

图2 BP算法程序实现设计流程图

(1)构造算法网络训练集和测试集.按(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)组成向量，定义算法训练样本.样本数φ采用规则[15]p=1+h(n+m+1)/m，其中p为需要训练样本数，n为输入节点数，m为输出节点数，h为隐含层节点数，当φ≤p时算法具有较好逻辑预测性能.本文共取38根构件作为样本集与测试集，试验数据来源于PEER中279根真实构件中影响关联性较强的28根构件(Saatcioglu和Grira[16]，Matamoros和Adolfo[17]，Légeron和Paultre[18]，Paultre和Légeron[19])和SP01～SP10拟静力钢筋混凝土(reinforced-concrete,RC)结构柱试验柱训练与预测样本，共38根试验数据.以随机算法遴选出30组数据作为训练样本，以8组数据作为检验样本(1～28随机抽4个，29～32随机抽2个，33～38随机抽2个)，共8个样本组成预测集，训练数据归一化，试验数据见表1.表中,共38组真实试验数据(来源PEER数据库1～28与试验29～38)，算法遴选出38组作为训练与预测样本.fl,yk为纵筋强度值，fw,yk为箍筋强度值；δy为试件屈服位移；δu为试件极限位.设定收敛标准对样本训练直至误差达到设定误差阈值.

表1 拟静力RC柱试件训练集和测试集试验数据汇总表

(2)BP算法的构建与参数优化.常规算法中常采用手工多次试算设定网络参数，如选择隐含层的单元个数、误差返算下降梯度、动量因子大小等参数，试算最终检验来确定最佳网络模型，本文程序设计增加优化选择模块，可实现程序匹配计算选择达到训练的最优化状态，并选定最优隐含层节点数和学习率，最优隐含节点数和学习率计算结果如图3所示，隐含层数nH=10，学习率LR=0.07，BP算法网络建立5-10-1型最优BP算法网络.

a 隐含层节点数

b 网络学习率

Fig.3InfluenceofoptimizingnumberofnodesathiddenlayersandlearningrateonBPtrainingerror

(3)BP算法网络训练.样本输入算法网络中并设置收敛精度要求，输入层tansig，隐含层tansig，输出层purelin，训练采用trainlm.当收敛精度达到设定参数限值时，网络训练完成.结果如图4所示.

a 训练集

b 测试集

Fig.4PredictedresultsofBPnetworktrainingsetandtestset

(4)BP算法的预测.按样本顺序组合成输入向量，输入到训练完成的算法模型中预测柱极限承载延性指标μΔe.预测结果如图5～6所示.

2 RBF算法模型建模与延性评价

2.1 径向基RBF算法模型研究与流程设计

径向基RBF算法(radical basis function)是多维空间插值算法的前馈型算法，原理基于Powell[20]

a 绝对误差

b 相对误差

a 绝对误差

b 相对误差

提出多变量插值径向基函数， Broomhead和Lowe[21]根据计算元具有局部响应特点，将多变量插值径向基函数引入优化算法产生RBF计算方法，Jackson等[22]证明RBF算法对非线性连续函数一致逼近性能的可行性并拓展算法.RBF算法采用径向基函数作为隐单元基构成隐含层空间，隐含层对样本输入矢量由低维模式变换到高维空间，实现低维线性不可分在高维空间线性可分，可任意精度逼近任意非线性函数，分析非线性系统难以归纳解析映射关系，具有良好泛化能力与较快学习收敛速度.

RBF算法求解参数.求解参数有基函数中心、方差及隐含层输出层权值，采用随机选取中心法[25]学习法，由自组织式算法(求解隐含层的基函数中心与

2.2 RBF算法构建与参数优化设计

图7 RBF算法程序流程构建图

2.3 RBF算法预测延性结果分析

RBF算法网络训练集的预测极限承载延性系数结果和误差收敛曲线如图9所示，训练集预测绝对误差和相对误差见图10所示，RBF算法测试集的预测结果和相对误差如图11所示.

3 GA-BP算法模型建模与延性评价

3.1 GA-BP算法模型研究与流程设计

BP采用梯度下降法较易陷入局部最优，导致预测效果不佳，所以很有必要采用优化算法改进BP权值wij和阈值θj，尽可能避免陷入局部最优现象，得

a RBF中心节点数

b RBF中心宽度

Fig.8InfluenceofoptimizingRBF’snetworkcentralnodenumberandwidthontrainingerrors

a 预测结果

b 收剑曲线

Fig.9PredictedresultandconvergencecurveofRBFalgorithm’snetworktrainingset

a 绝对误差

b 相对误差

a 预测结果

b 相对误差

到逼近数据真实映射规律BP网络.GA(genetic algorithms)算法[26-27]具有良好通用性、并行计算和全局搜索能力等特点，可有效避免算法陷入局部最优，在可控时间内得到待优化问题的近似最优解.GA包括染色体编码法、适应度函数、GA操作和运行参数.①BP确定.根据拟合函数输入输出参数确定BP结构，进而确定GA个体长度.②GA优化.采用GA优化BP权重wij和阈值θj，种群个体包含网络权值与阈值，个体通过适应度函数求解适应度值，GA通过Select(选择)、Cross(交叉)和Mutation(变异)不断寻找最优适应度值对应个体.③BP预测.采用GA得到最优个体对网络初始权值wij和阈值θj赋值，算法网络经训练后预测函数输出.

3.2 GA-BP算法构建与参数优化设计

GA-BP算法程序流程具体构建图，见图12.

(1)种群初始化.采用实数编码，每个体均为实数串，由输入层与隐含层连接权值wi、隐含层阈值θi、隐含层与输出层连接权值wj和输出层阈值θj四部分组成.个体包含算法的全部权值wij和阈值θij，构成结构与权值wij阈值θij确定的网络.从PEER中优选38组输入输出数据(同BP算法).GA-BP经优化选择5-10-1型，共60个权值和11个阈值，采用GA算法个体编码长度为71.

图12 GA优化BP算法程序构建流程图

(4)预测输出.取得最优权值阈值，计算误差，权值阈值更新，当满足收敛结束条件时，进行算法预测，输出计算结果.

3.3 GA-BP算法预测延性结果分析

GA-BP算法的均方误差(mean squared error, MSE)收敛曲线与测试集预测如图13所示，测试集预测绝对误差与相对误差见图14.

a 收剑曲线

b 预测值

a 绝对误差

b 相对误差

4 三种算法结果分析比较与应用

4.1 三种算法结果分析与比较

本文采用优化BP算法预测研究拟静力试验柱的双能量等值极限承载延性指标μΔe.经BP、RBF和GA-BP算法训练与预测得到以下分析结论：

(1)网络训练测试集分析.RBF网络对测试样本的预测模拟与实际值输出曲线几乎重合，预测误差曲线在迭代次数Nepoch=0.05时，绝对误差曲线(个别样本达到0.12)和相对误差曲线(个别样本到达0.6%)基本是直线，RBF算法预测值与实际值基本一致.BP训练样本的仿真并不完全重合，其绝对误差曲线和相对误差曲线出现波动，虽然RBF训练集模拟效果优于BP，但从测试集分析，BP和RBF差距不明显，即RBF存在过拟合现象.最终采用GA算法对BP算法网络的权值和阈值优化.三种算法的测试预测值与实际值分析如表2所示.

表2BP、RBF和GA-BP算法测试预测值与实际值比较表

Tab.2ComparisonbetweenthepredictedvalueandactualvalueoftestingBP,RBFandGA-BPalgorithms

序号随机样本编号试验实际值μΔe/mmBP预测值μΔBP/mmRBF预测值μΔRBF/mmGA⁃BP预测值μΔGA-BP/mm1321．272．3771．9291．2212311．112．4522．0511．2143361．391．5391．4941．5654341．671．4191．5101．374573．283．9123．6043．2296176．047．5976．8677．014796．707．5155．2576．8648188．217．7848．1317．071

注：预测样本由算法随机遴选.试验值μΔe见数据库表1，BP算法预测值μΔBP见图4，RBF预测值μΔRBF见图11，GA-BP预测值μΔGA-BP见图13.

(2)预测样本集MSE.三种算法的MSE值分析比较如表3所示，采用GA-BP预测本算例可达到最佳.同样达到程序设定10-9精度要求时，BP算法训练时间为0.629 s，RBF训练时间为0.312 s，而GA-BP运行时间330.385 s，如表4所示，RBF比BP和GA-BP算法效率更高，但GA-BP算法的MSE值比RBF算法小，预测效果明显较好，预测值最接近实际值.BP和RBF都能较好对训练检验样本进行仿真，预测效果较接近，由误差曲线分析，BP和RBF网络泛化能力并不强大，而GA-BP具有最佳的实用性和优越性，对于双能量等值极限承载延性指标μΔe预测是最优选择方案.

表3BP、RBF和GA-BP算法测试MSE比较表

Tab.3ComparisonofBP,RBFandGA-BPtestsampleMSE

选用算法类型BP算法RBF算法GA⁃BP算法均方误差(MSE)6．7844．2352．409

表4 BP、RBF和GA-BP算法程序运算时间表

(3)实际预测值分析.BP算法虽然具有较好非线性逼近模拟，但训练中采用是梯度下降法算法，易陷入局部最优，导致预测效果不佳，GA-BP算法具有良好全局搜索能力和通用性与并行搜索能力，在可控时间内得到近似最优解.采用GA优化BP网络的权重w和阈值θ，可以有效抑制局部最优出现，更好逼近试验数据的真实映射规律.BP算法权值w和阈值θ不断得到修正，使网络输出与目标输出不断逼近，RBF具有良好泛化能力，并有最快学习收敛速度.五参数输入(λ-fc-n0-ρl-ρw)算法的预测精度可达到工程使用需求，但通过增加μΔe的控制因素数量，增大训练样本数量的覆盖范围，增加输入参数的数值覆盖范围，都有利于增强训练算法网络，并提高预测μΔe精度值.

4.2 训练算法网络与延性预测

基于已初步训练完善的GA-BP网络算法，实际工程评价使用中，在拟静力试验柱数据中获取五输入参数(λ-fc-n0-ρl-ρw)的指标，输入训练算法网络，可实现调用训练较完善的算法网络(BP、RBF和GA-BP算法)，进行极限承载能量延性指数μΔe预测.其中调用GA-BP主要算法如下：

[adata,bdata,cdata]=xlsread(filename);

P3=cell2mat(cdata(4:end,2:end-1))';

input_test2=mapminmax('apply',P3,inputps);

ybptest2=sim(netgabp,input_test2);

ybptest2=mapminmax('reverse',ybptest2,outputps);

outcell={'gabp Predicted Value'};

outcell=[outcell; num2cell(ybptest2')];

本文采用GA-BP算法预测实际高轴压比高强结构足尺框架柱抗震试验，试验设计与试验结果分析见文献[28].算法预测值与试验值对比见表5.表中，试验实际值μΔe是基于损伤耗能计算程序(DECP)算法计算的高轴压比高强足尺结构柱抗震试验的双能量等值延性系数.其中，DECP是本文作者编制的用于处理恢复力试验曲线及计算双能量等值延性系数的程序.详细试验参数见文献[28]，其中试验编号HC-1、HC-2和HC-3的构件试验轴压比采用超限轴压比值设计.从最终采用的GA-BP预测结果分析，HC-4～HC-9的μΔe预测结果可以达到工程精度要求，试件编号HC-1～HC-3的预测结果要比程序计算能量指标延性值偏大.训练完善的GA-BP网络可适用于高强度RC柱的预测，但适用于构件的轴压比非超限范围0.15≤n0≤0.75，对于超限的高轴压比结构柱(n0>0.75)的预测值会比试验值偏大.

表5GA-BP预测框架柱延性值与实际值比较表

Tab.5 Comparison between prediction values of full-scale columns ductility index by GA-BP and actual valuesmm

5 结论

分析结果表明GA-BP算法具有最佳适用性和计算优越性，同时设计可调用GA-BP预测新型构件延性指标的算法，得到以下主要结论：

(1)BP、RBF和GA-BP算法分析比较.①通过编制的BP算法及其隐含层节点数和学习率的优化算法，可实现BP算法达到最优化状态，隐含层数nH=10，学习率LR=0.07，建立5-10-1的最优BP算法网络，分析表明该算法收敛速度较快且收敛精度较高，但未达到全局最优.②通过编制的RBF算法及其节点数和中心宽度的优化算法，中心节点数NM=25，中心点宽度SM=0.8，分析表明该算法具有拟合速度最快且测试集MSE误差最小优点，但训练过程中存在数据过拟合现象，RBF可作为BP和GA-BP的比较参照算法.③通过编制的GA-BP算法，采用BP算法确定网络结构及GA个体长度，GA优化BP算法的权值wij和阈值θj，求解个体适应度值，寻找适应度值对应个体，导入BP算法网络预测，分析结果表明GA-BP可以最优地逼近极限承载延性指标μΔe的试验实际值.

(2)预测结果分析比较.通过BP、RBF和GA-BP算法对双能量等值法延性系数μΔe预测，三种算法都可预测μΔe，但综合分析GA-BP为本算例中最优且最有效的算法.BP采用梯度下降法且陷入局部最优，RBF在达到相同精度时具有最快收敛速度而过拟合，GA-BP优化权值wij和阈值θj可有效抑制算法局部最优，进而更好逼近试验数据的真实映射规律，GA-BP具有全局搜索能力与通用性，在可控的计算时间内得到近似最优解.

(3)本文设计了可直接调用训练完善GA-BP进行预测μΔe的方法，并采用GA-BP预测高轴压比高强足尺框架柱抗震试验构件，算法可适用于高强度结构柱预测，对于超限高轴压比的结构柱预测值会比试验值偏大.本文方法可用于新型高强拟静力试验柱的双能量等值法延性系数的预测分析，为高强柱的抗震损伤评价提供新方法.

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