在平面向量教学中培养学生数形结合思想

刘顺强

由于向量是中学数学课程改革中新增的内容，所以在教学实践方面必然会经历一个实验、探索、调整、完善的过程，在平面向量教学中出现一些误区.例如，过于强调向量的工具性与优越性，而很少提及向量应用背后的思想方法体系，是相当普遍的现象.其实，向量的引入有助于学生更好地建立代数与几何的联系，能让中学生尽早地了解和掌握向量的思想方法；用向量研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合，发展学生数形结合的思想方法，以向量为载体，可以让学生初步了解用“数”的知识处理“形”的问题的一般步骤和方法（向量法与坐标法），进而培养学生数形结合思想.

一、在向量的线性运算中渗透数形结合思想

向量不同于数量，它既有大小又有方向，是一个具有几何与代数双重身份的概念，同时也是一个具有一套优良运算通性的数学体系.向量的几何成分很多，有的概念可以用有向线段来表示，有的运算直接用几何作图来定义，有的处理方法则渗透着数与形的辩证关系，向量的这些几何属性为培养学生的数形结合思想提供了条件.

几何作图不仅是平面向量中的一项基本技能，而且也是渗透数形结合思想的绝佳素材.教学时多让学生画图，多让学生辨认复杂图形中各向量之间的关系，例如，“向量的加法与减法”，教学中要让学生在几何作图中学运算，更要学生在运算中体会数形结合思想，教学实践中，可以分为四个阶段.第一阶段要求学生用定义作出两个向量的和向量，通过作图让学生深刻领悟定义中“取”“作”“则”三个字的含义.第二阶段要求学生通过两个向量进而掌握三个、四个向量的和向量.先在三角形、平行四边形等简单图形中辨认向量，再在复杂的五边形、六边形等复杂图形中辨认向量，通过作图让学生探索向量加法的法则和运算规律，实现知识由表象向本质深化的目标.第三阶段要求学生先作出一个向量的相反向量，再作出两个向量的差向量，通过作图让学生自行定义向量的减法，实现知识的主动构建.第四阶段要求学生先进行向量加减法的几何作图训练，再进行向量代数运算训练，实现向量运算由直观形象向抽象符号的过渡.这样教学不是对向量运算简单地下定义，而是引导学生在作图中感悟隐含于向量运算之中的数形结合思想，分阶段展示向量运算的形成过程，使得学生所学的不再是零散的知识点，而是有序的知识链，把数学知识结构内化成学生的认知结构，有利于渗透数形结合思想.例如，已知|a|=|b|=1，|a+b|=2，求|a-b|.

很多学生在解本题的时候倾向于模长、数量积的代数公式，而且容易计算错误，如果通过向量加减法的平行四边形法则作图就可以直接画出答案，在教学中充分利用了几何直观性的特点，注意从形和数两个方面来理解.

二、在向量与数量的对比中突出数形结合思想

向量与数量的概念之间，运算体系、处理方法之间等都可以用来对比，通过对比，可以减少负迁移的产生，使学生认清向量的运算对象，并能正确运用向量的运算法则进行学习.比如，向量数量积的结合律a·（b·c）≠（a·b）·c，但是在多项式的运算中乘法的结合律a（bc）=（ab）c却是正确的.了解了向量的几何意义，就能清楚地认识这两种运算律在本质上的区别，会通过举例的方式指出其错误.又如，向量的运算法则、运算律与实数的运算法则、运算律的对比，向量的平行与垂直的条件、直线平行与垂直的条件的对比，向量夹角、直线的倾斜角、复数的辅角的对比，对于初次接触向量的学生来说，教学难度就在于向量存在着多条与应用了十多年的数量运算格格不入的法则，存在一些与以往不合逻辑的性质，比如，“0向量的方向任意，可平行，可垂直”“向量包含大小，但不可以比较大小”等，教学中重视向量这些不合常理的性质的分类与对比，做到化解难点，显示向量带方向的图形特征，所以，对比是学习向量的一种良好方法，也是突出数形结合思想的有效途径.

三、在向量的应用中发展数形结合思想

1.重视用数形结合思想指导解向量题.在向量解题活动中，我们经常可以看到这样的现象：学生只是满足于用某种方法进行问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，未能对向量解题过程中的教学思想进行升华，以教“入宝山而空手回”.向量解题教学不要以题论题，要多引导学生“是如何想的”，要教会学生“要如何下手”，学生最关心的问题是：以后遇到类似的问题，思路遇阻的原因，以及如何找到解题方法，要解决上面的问题，关键把数学思想贯穿于解题教学的各个环节，实现向量解题教学的优化，向量解题的思维过程常常离不开数形结合思想的指导，它是开通解题途径的金钥匙.例如，已知a=（-3，4），|a-b|=1，求|b|的最大、最小值.如果设b=（x，y），利用条件列方程组计算比较麻烦，很难利用代数运算实现目标，可以借助向量减法的三角形法则（a，b，a-b构成三角形）、坐标的几何意义、向量模长的几何意义求解：作出a的坐标，a与b的三角形法则，则b的终点轨迹为圆，圆的半径是1，圆心是a的终点，从而可知最大值是5+1=6，最小值是5-1=4.

利用数形结合的思想让学生理解向量运算的形的特征，主动通过“画”出答案，在图中显示数学思维过程，有效地反映数学知识的应用过程.

2.重视在向量的加法、减法、数乘、数量积运算教学中发展数形结合思想.由于向量具有几何与代数的双重属性，这就为“数”与“形”的问题搭起了桥梁，利用这座桥梁，我们根据“数”的结构特征，构造出与之相应的“形”，并利用“形”的特性与规律，解决数的问题；或者将图形的信息转化成数的信息，使要解决的问题转化成对数量关系的讨论.

纵观高考这几年的试题，考查向量的比重有所下降，但是向量與复数、解析几何、三角函数的交汇较多.在平面和向量的章末小结中，应以数形结合思想方法为主线贯穿相关知识：平面向量的一个基本定理，平行与垂直的充要条件，向量的三种表示方法，向量的四种运算及运算律.在复习向量时，抓住向量与解三角形的交汇，向量与函数（特别是三角函数）的交汇，向量与椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程的交汇，引导学生适当综合归类，能起到强化数形结合应用的意识.数学家华罗庚曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”向量教学中要努力体现数形结合思想，不失时机地向学生渗透这种思想，培养学生运用数形结合思想解决向量问题的能力.endprint