如何在高中数学概念教学中培养学生的反思能力

☉湖北省麻城市实验高级中学 董胜兵

学生在教师引导下的认知以及自身的发展在课堂教学过程中是同步发展的，学生的反思性学习能力在这一过程中也会得到很多的锻炼与发展，因此，教师在课堂教学中应尽量创设学生反思的条件与机会以促进其反思与拓展能力的提升.高中数学概念教学是学生进行所有数学学习与活动的基础，其重要性自然是众所周知的，但学生将理解停留于概念理解的表层这一现象比比皆是.很多学生只能在一定的背景框架下进行概念的直接应用，一些需要分析、建模后再应用的能力却是很多学生不具备的.很多在实例中归纳得出的数学概念往往很容易被学生接受和理解，但一些运用已有知识对新概念进行理解的过程对于学生来说却颇有难度.教师在运用已有知识对新概念进行数学定义的过程中应尽量创设出合理的问题情境并引导学生对其进行探索，使学生在不断反思“为什么”的过程中对概念形成深刻的理解.那么，在数学概念的教学中应该怎样培养学生的反思习惯与能力呢？

一、引导学生在实例中形成反思

例如，抽象的函数概念教学就可以首先从生活实例中引导学生对其进行感受，使学生能够在给定的两个数集中对“一对一”的对应关系进行体会，然后引导学生自主举例来思考“一对多”、“多对一”的实际含义，学生在新概念的引入以及初中函数概念的回顾中很快能够理解函数这一特殊的对应，函数的定义在学生的理解中也就变得水到渠成了.

函数这一非空数集之间的特殊对应应满足A集合元素的任意性与B集合元素的唯一性这一本质含义是函数概念学习中最为重要的，教师在函数定义得出之后应适时对学生进行设问、实例分析以促进学生完整经历函数概念的形成，使学生在问题的思索与探究中对概念形成真正的掌握与理解.比如，教师在强调“定义域”的重要性时往往会强调“解析式相同、定义域不同的函数是不相同的函数”，但这样的抽象强调比不上具体的例子更让人清晰理解.例如：每支水笔4元，总价y和支数x之间存在怎样的函数关系？小明上学步行速度为4km/h，总距离y和时间x之间存在怎样的函数关系？引导学生在实例中列出函数关系式并思考“为什么”、“怎样区别”等问题，然后再引导学生自己举出合适的例子，这在学生自主练习之前是必不可少的.

二、引导学生在情境中形成反思

例如，在指数函数概念的教学中可以设置以下情境：“一张厚度约0.1mm的白纸对折28次后会有多厚呢？会不会有七八层楼房那么高呢？”在学生不得其解之时略作停顿：“对折28次后的厚度比珠穆朗玛峰的高度8848m还要大！”在学生惊讶之余继续指出：“今天我们就会学习指数函数，大家学习之后就能算出对折28后的厚度大约是13442m了.”学生在悬念型的问题情境中很快变得主动而积极.

三、引导学生在类比中形成反思

例如，在球的概念教学中可以先对圆的定义进行复习：圆就是同一平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合.然后可以引导学生在去掉“同一平面内”这一条件后对所有点的集合所形成的图形进行思考，最后给出球的定义：球就是空间中到定点的距离小于或等于定长点的集合.在学生感受到球是实心的这一性质中再举出铅球、篮球、乒乓球等学生熟悉的物品并引导学生判别哪些是数学中的“球”，在引导学生再总结球体这一空间图形的性质中对球的概念形成透彻的认知.

四、引导学生在数学概念的联系中形成反思

1.在概念的横向联系中形成反思

同一数学概念的内部逻辑结构、概念与各种等价表示，以及具体模型相联系的外部表示之间的抽象即为此处所讨论的数学概念的横向联系，描述的对象、性质、思想方法、注意点等都是包含在其中的重要内容.

例如，等比数列这一具备特殊性质的数列往往给学生极其抽象的感觉，但如果能给出具体的数据并引导学生发现其中的各项之比，学生便能很直观地在这样一个特殊化的处理方法中获得概念本质上的认知.因此，教师在概念教学中可以根据需要引导学生对概念之间的联系进行反思以促成学生精确理解.

例1已知等比数列{an}，a3=3，a7=48，求a5、a6.

解析：设首项为a1，公比为q，由题意得

解得a1=0.75，q=±2，则a5=12，a6=±24.

学生解这一基础题并没有难度，但教师在此题解决之后应引导学生进行以下反思：①a6怎么会出现正负两个答案？②如果存在两个答案，你能写出它们对应的数列吗？③观察a3、a5、a7之间的关系可得a52=a3×a7，进一步证明推理可得am×an=ap×aq（m+n=p+q）.由浅入深的三点反思将概念展现得更加具体并进行了适当的外延.

简单的例题展示出了反思学习在概念联系中所能展现的价值，例题中所隐含的概念联系正是此题的关键，教师的适时引导更好地加深了学生对概念的认知与理解.

2.在概念的纵向联系中形成反思

不同数学概念之间的联系即为数学概念纵向之间的联系，高中数学学习中所涉及的概念始终贯穿学生高中整个阶段的数学学习，很多概念之间都存在着息息相关的联系，很多看似独立的概念也都不是孤立的存在，众多元素所构成的节点将很多前后所学的概念紧密地联系起来，不仅如此，很多看似独立的不同概念之间在对象、结构、思想方法上都存在着一定的相似与关联，因此，在概念的纵向联系之间进行一些元素的提取是非常有必要的，这对于后续新概念的学习都是相当重要的铺垫，教师在实际教学中适度地引导学生对概念纵向联系进行反思能够使学生更好地明晰概念间的相互关联.

比如求解三角形的题目就经常在三角函数正弦定理与余弦定理的知识点中出现.

例2 （1）在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，求b；

直接运用正弦公式与余弦公式就能够解决这六道基本的解三角形小题，解完之后可以发现（3）与（6）的解不唯一，其他四道小题的解都是唯一的，为什么会出现这一现象呢？怎样的情况下会令解唯一呢？对题目进行进一步观察不难发现，题中所给的条件基本都是三角形的两边一角、两角一边、三边，从已知条件不难联系全等三角形的相关知识，对题目与答案再观察可以发现，如果已知条件符合三角形全等的判定条件，其解正是唯一的，那么我们是否可以考虑已知条件不符合三角形全等条件时，其解不唯一呢？

回头再观察六道小题不难发现，解不唯一的（3）与（6）确实不符合三角形全等的判定，其余四题中（1）、（4）、（5）的已知条件符合三角形全等的判定，因此其解唯一，值得注意的是（2）因为平面三角形内角和这一因素舍去了一个解.那么三角形的解唯一必须满足怎样的条件呢？根据以上小题可知，三角形的解唯一有两种情况，一是题中已知条件满足三角形全等的判定，一是已知条件不符合三角形全等的判定，后一种情况中也只能存在已知两边与其中一边所对应的角.因此可以设已知a、b、∠A，若∠A为钝角或直角，那么三角形的解唯一；若∠A为锐角，则分情况讨论可得bsinA=a时解唯一，当a≥b时解唯一，当bsinA＜a＜b时解不唯一.

正弦定理与余弦定理的概念在这六道小题的解决与反思中得到了进一步的深化.

数学概念的准确认知与理解往往能够直接影响学生对数学学习的效果，概念联系基础上的反思能够引导学生在新旧概念之间形成更加深入而透彻的认知.教师在实际教学中应重视数学概念这一“根”和“本”延展与反思，为学生尽量创造出更多的反思机会以促进学生对概念的扎实理解与综合应用.