新的三维混沌动力系统及数字图像加密方法

孙广明 黄金杰 张宇

摘 要：针对数字图像的信息安全问题，提出了一个新的三维自治混沌系统，通过对其基本动力学特性的几个方面进行深入研究并仿真，证实该系统具有混沌特征。并基于该混沌系统，建立一种新的数字图像加密方法，并给出仿真分析，实验结果证明使用该方法加密的图像对于多种密文攻击方式具有较好的抵抗能力。

关键词：混沌;混沌同步;混沌吸引子;自治系统

DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.019

中图分类号： TP309.7

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2018）06-0105-05

Abstract：Aiming at the problem of information security of digital image this paper proposes a new three-dimensional autonomous chaotic system in-depth research and Simulation on its dynamic characteristics through several basic aspects confirmed that the system has the feature of chaos. Based on the chaotic system the establishment of a new digital image encryption method and the simulation analysis experimental results show that the image encryption using the method has good ability to resist various attacks for the cipher text.

Keywords：chaos; chaos synchronization; chaotic attractor; autonomous system

0 引 言

混沌现象是确定性系统中的一种运动轨迹貌似随机的现象，是非线性动力系统的一种特有的运动形式，广泛存在于自然科学的各个领域。Lorenz发现第一个混沌系统[1]以来，各国学者不断的研究、发现新的混沌系统。陈关荣在研究Lorenz混沌反控制过程中，发现“Chen混沌系统”[2-3]，吕金虎等人发现“L混沌系统”[4]。随着研究的深入人们不断发现新的混沌系统[5-7]。近年来，混沌与应用学科的研究的开展，由形成新的研究方向，图像混沌加密[8-11]成为混沌与应用学科的交叉热点之一。文[10]研究了基于可 Markov 分割混沌系统的图像加密算法，通过控制混沌系统的参数，设计了一个混沌密钥流发生器;通过选择不同群中的加法混合运算，两轮迭代完成了图像加密过程。文[11]针对当前的一类具有置乱—扩散结构的混沌图像加密算法存在的缺陷问题，设计了一种能抵抗选择明（密）文攻击的混沌图像加密算法。文[12]提出一种基于超混沌系统优化序列并结合密文交错扩散的并行图像加密方法。对超混沌序列改造产生与明文相关的密钥序列，图像被分成两个子块，以并行方式对子块进行两轮像素加密，并引入密文交错扩散技术，完成图像加密。

本文提出了一种新的三维自治混沌系统，对新的混沌系统进行了动力学分析和数值仿真，研究了该混沌系统平衡点的稳定性，Lyapunov指数和Lyapunov维数，以及时间域分析等。同时，对该混沌系统进行了应用型图像加密研究，构建了基于该混沌系统的数字图像加密方法，并给出了相关实验及分析。

1 新的三维自治混沌系统系统模型

新的三维自治混沌系统的数学模型描述为：

系统（1）的动力学轨迹如图1所示。

2 新混沌系统基本动力学特征分析

2.1 耗散性和混沌吸引子的存在分析

由于散度

2.2 系统平衡点的稳定性

考虑如下方程组：

同理，P1、P2均为不稳定鞍焦点。综上，系统（1）的3个平衡点均为不稳定平衡点，所以系统（1）可能为混沌。

2.3 Lyapunov指数和Lyapunov维数

图2为系统（1）的Lyapunov指数谱曲线，系统（1）的Lyapunov指数随着时间的变化逐渐趋于平稳。其中λ1>0，λ2>0，λ3<0，说明系统（1）为混沌系统，且存在吸引子为奇异吸引子。

3 混沌系统的数字图像加密研究

混沌系统（1），对于给定一组初始值，随着时间的增量，演化产生x、y、z三个轴向的无序实数序列。对于原始的混沌系统并不能直接用于密码系统，进行混沌系统离散化后，产生离散化混沌序列，可应用于密码系统。

3.1 图像加密实现

根据数字图像像素的特点，采用像素替换和全局位置变换交替使用的方式来实现数字图像的加密。

3.1.1 像素替代

假定存在大小为M×N的数字图像I（M为数字图像的像素行数，N为数字图像的像素列数），令L（i，j）表示数字图像（i，j）坐标处的图像像素值。

解密步驟：

3.1.2 全局位置变换

考虑数字图像的特点，相邻像素具有相关性，采用调整原有数字图像的像素的位置，以打破原有图像的元素相关性。

解密步骤：

由于全局位置变换过程可逆，全局位置变换后图像B，按全局位置变换的逆过程即可恢复源图像I。

4 试验结果及算法性能分析

选取尺寸大小为256*256图像进行试验，选取像素映射加密初始密钥：[x（0），y（0），z（0）]=[1，1，1]，U=10，V=20，W=20。采用先像素映射加密后位置变换形式为一轮加密，实验结果如图3所示。从试验结果看，密文图像完全掩盖了原图的内容，难以分辨源图像所含的信息内容，达到了数字图像加密的目的。该算法可多次使用，并无周期性。

4.1 统计特性分析

图3（e）和4（f）分别为原始图像和密文图像的直方图。密文图像的直方图呈均匀分布，完全掩盖了源图像的像素分布，打破了明文图像的统计特性完全被打破，降低了明文与密文的相关性，隐藏了图像的统计特性

4.2 密钥敏感性分析

由于混沌系统对于初始参数具有敏感特性，本文方法由混沌系统数字化而来，所以对初始状态的变化具有敏感性，及时初始密钥很小的变化，得到的解密图像也是错误的。试验结果如图5所示。即使密钥增加0.000 000 000 000 001，得到的解密结果也是错误的。

4.3 抗干扰测试

本文图像加密算法较好的抗干扰性能，由于图像传输过程中可能引起的图像损失，使得图像数据引起一定的失真，本文算法均能正确解密，恢复原图像。图（5-d）为加密图像受到随机噪声污染后加密图像恢复的图像，从实验结果看，本文算法具有较好的抗干扰效果。

5 结 语

本文提出了一种新的三维自治混沌系统，并对此新的三维自治混沌系统的基本动力学特性进行了研究，分析了新混沌系统的吸引子，平衡点的稳定性，指出该系统具有三个不稳定的平衡点，对提出的新的三维自治混沌系统的Lyapunov指数和Lyapunov维数等进行了仿真。通过理论分析，验证了系统的混沌性质。同时对该混沌系统离散化，进行了数字图像加密的应用性研究，提出了一种基于该混沌系统的数字图像加密算法，并给与了仿真及分析。

参 考 文 献：

[1] Lorenz E N. Deterministicnon-periodicflows[J].AtmosSci，1963，20：130-141.

[2] 陈关荣 吕金虎. Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M]. 北京： 科学出版社 2003.

[3] 廖晓昕.Chen混沌系统全局指数吸引集和正向不变集的构造性证明及应用[J].中国科学，E辑，2015，45（1）：129-144.

[4] L J H，Chen G R 2002.A New Chaotic Attractor Coined[J]. Int. J.Bifurcat.Chaos12，2012，12（3）：659-661.

[5] 王光义，丘水生，许志益. 一个新的三维二次混沌系统及其电路实现[J].物理学报，2006，55（7）：3295-3300.

[6] 孙广明，黄金杰. 混沌相空间转动同步及判别切换保密通信的研究[J]. 通信学报.2016，37（10）： 99-107.

[7] 冯朝文，蔡理，康强，等. 一种新的三维自治混沌系统[J]. 物理学报.2011，60（3）：030503.

[8] 吴敏 丘水生. 一種混沌图像加密方法的研究[J]. 通信学报.2003，24（8）：31-36.

[9]车生兵，黄达，李光.基于复合混沌的自适应图像加密算法[J]. 中国图形图像学报.2006（11）：1557-1561.

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[11]邓晓衡，廖春龙，朱从旭，等. 像素位置与比特双重置乱的图像混沌加密算法[J]. 通信学报，2014，35（3）：216-223.

[12]朱从旭 胡玉平 孙克辉. 基于超混沌系统和密文交错扩散的图像加密新算法[J]. 电子与信息学报，2012，34（7）：1735-1743.

（编辑：王 萍）