分类讨论思想在高中数学解题中的应用

冯小伦

（达州市高级中学2015级三班 四川达州 635000）

引言

分类讨论可实现解题的化繁为简，还可对学生思维及其转换能力进行有效培养。现阶段，高中数学在内容方面相对多且比较抽象，其理解难度愈加升高。而该思想应用至诸如函数等问题当中，可使解题思路更为明晰，将抽象向着形象思维推进，进而使解题速率得以有效增强。若想强化解题速率、效率，必然应对分类讨论具体运用进行分析。[1]

一、分类讨论思想对数学解题的意义及其分类标准

1.分类讨论对解题的重要性

数学问题往往含有多类情形，而分类讨论则对其主要因素进行关注，对其条件范围以及发展方向进行有效把握，从而紧抓各类情形特点来分类讨论。该思想要求进行分类意识的重点强化，并明确如何分类与研究，最终统一整合形成完整答案。以分类讨论为导向，能够有效对逻辑思维进行强化，因为高中数学通常比较抽象，解题时存有较大难度。而利用逻辑思维便可实现问题的有效把握，从而使解题不论是精度还是效率都得以提升。同时，分类讨论有助于对实际问题进行解决，能够将其化整为零而后实现各个击破，对于学生概括、条理以及逻辑等能力的强化有着重要意义。但教师需明确数学思想并非分类一种，实际解题需要与诸如数形结合、函数方程等多种思想进行有效结合，从而使解题更为迅速与精确。教学时切忌使学生对该方式进行机械背诵或者是盲目地套用，必须以题目实际为基础，选取正向思路。[2]

2.分类讨论具体划分标准

首先，分类需要保证科学与合理，在分类方面不可发生遗漏，而后避免分类重复现象的发生。以不重不漏为基准与题目性质、条件等进行有效结合，降低分类数量。其次，需要对分类标准进行明确。下面从多角度来明确标准：首先，可以数学概念为基础来划分，部分概念本身便以分类进行定义，例如绝对值。其次，可以运算法则或者相关定理来划分。高中数学包含较多法则、定理，它们一般以分类形式来给出，比如等比数列相关求和、求积等便分成了q（公比）是否为1来介绍；还有指数函数在单调性方面，其以a的值为基准分成大于1或者是介于0、1间两类。第三，可以图形位置为基准来划分。通常位置变化也会导致问题分类：两点处于平面上的同侧或者是异侧；对称轴就定义域的位置等等。第四，还能够以特殊要求为导向来划分，比如排列组合相关的计数、概率等问题。第五，可以根据参数量变来分类，若函数问题存有参数，其参数有时的“量变”会使其问题出现“质变”，而这便需分类。[3]

二、高中数学对分类讨论进行有效运用的具体策略

1.集合解题的应用

集合题目一般要以元素和集合或者是集合间各类关系为导向进行分类。在部分含参集合中，只有分类才可对其进行解答。此类问题一般出现于选择、填空等，应对其进行谨慎分类，切忌遗漏等问题的出现，进而整合出正确结论。

2.函数解题的应用

解题时，函数参数与其结果密切相关。因此，以分类讨论形式来解决函数题目，必须对其参数进行恰当分类，使学生可从多维度来剖析函数问题，强化其解题精度、效率。比如，在“若k=?时，函数y=（k+2）x2k+3+3x-4（x≠0）应为一次函数”进行解答，便可考虑分类进行研究，综合考虑其参数变化。首先，如果2k+3=1，同时k+2不为0，也就是k是-1时，那么此时y=4x-4，便成了一次函数；其次，如果2k+3=0，也就是k为-3/2时，这是函数就是y=3x-4，也成为一次函数；第三，如果k+2为0，即k为-2时，这时y=3x-4也为一次函数。由于该题在（k+2）x2k+3并不知道其具体形式，所以需要对该式子进行分类。

3.概率解题的应用

概率模对分类应用较广，该思想需从其本质出发，以问题要求为导向进行分类，从而整合求得最终结论。首先，需要对其概率类型进行明确，而后对条件内数字采取编号措施，最后通过分类来假设其变量数值，从而确定有效计算的方式。比如，某地对足球队员进行选拔，共有编号从1到16的队员，若想从群体中选择3人，前三人中必须选择一个，并且他们的编号可以构成公差是4的等差数列，那么概率应为多少？该题就其类型而言，应是古典概型。基本事件共有C163种，也就是16*5*7=560种，我们可设其编号是a=a1+4（n-1），如果a1是1的话，那么队员便可从编号是1、5、9、13里面选择3个，也就是4种选取方式；如果a1是2的话，那么队员便可从编号是2、6、10、14里面选择，也是4种；如果a1是3的话，那么队员便可从3、7、11和15里面选择，也是4种，所以综上而言，其概率P=16/560=1/35。该种分类方式对概率问题而言至关重要，其不论是节约时间还是准确度方面都较强。[4]

4.数列解题的应用

数列解题对于分类的应用主要表现于等比求和、数列周期等方面。学生以该思想为基准来讨论相关数列问题十分有效。比如，“若等比数列，其公比是q，并且前n项和需要大于0，其中n=1，2...对q范围进行计算”，因为此题并未对q范围进行明确，因此解题应对其分类来深入研究。解答时，可以q是否是1为导向来讨论，对其取值范围进行合理确定。

结语

总之，数学解题对分类讨论进行正向应用，不但能够使解题效率得以强化，还可使学生思维等得到有效拓宽与发散。此外，教师应将该思想渗透至教学之中，指引学生以分类观点对数学问题进行观察，并掌握好相应分类标准以及范围，为其后续学习奠定基础。

[1]成垒.浅谈分类讨论思想在高中数学解题过程中的运用[J].科技风,2016(21):41.

[2]刘祝芸.关于分类讨论思想在高中数学解题中的应用思考[J].经贸实践,2016(19):80.

[3]王芳芳.浅谈分类讨论思想在数学解题中的应用[J].亚太教育,2015(18):41.

[4]周剑.分类讨论的思想在高中数学解题中的应用[J].求知导刊,2014(05):123-124.