浅析高中数学基础知识与公式的整体应用教学

刘新萍

（广东省广州市番禺区石楼中学，广东 广州）

随着新课改的深入推进，数学教学逐步体系化，呈现出新的现象。没有高中数学老师不知道数学公式的重要性，但不少老师教授公式时还停留在让学生死记硬背的填鸭教学方式。学生对于公式的学习一直是老旧的机械训练，这一方法影响了学生对于数学方法的掌握和运用，也影响了学生对数学学习的兴趣和学习能力的提升。数学公式教学是否有效对于学生的数学思维和数学能力的培养有着很大的影响，直接影响学生对于数学知识的掌握。在进行数学公式教学过程中，教师必须抓住这一时期学生的心理，引导学生对数学公式的形成过程进行体验，培养学生搜集和处理信息的能力，不断地提高学生对于数学学习的兴趣和探究数学问题的能力，从而增强学生解决问题的信心和能力。只有“因材施教”才能让学生对所学基础知识进行有效学习，学生才能够收获感悟，理解数学原理，从而融会贯通，教学质量才会有所提高。

一、整体把控教材，创新教学过程

数学知识是一个整体的、系统性的学科，教师在教学实践和探索的过程中，一定要注重对整体的教学知识进行把控，通过整合各个章节的内容，对所有的基础知识和公式进行把控，做到章与章、节与节之间的完美衔接，发现其中的内在联系，将数学知识有效地组织起来，构成一个知识体系。对于多个年级的教学，也要实现整体把握，把所有的数学知识结合起来，分析、梳理、整合相关公式。学生在这一过程中，对于数学公式和基础知识会有较为明确的了解，能够更有条理地进行数学知识的学习。

教师在确定教学目标和教学内容之后，需要对教学方法进行创新，在这一过程中，学生能够更有针对性地认识新知识。比如，当学习到“圆锥曲线”这一章时，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。

例1（2017山东卷理科14）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为 F的抛物线 x2=2px（p>0）交于A、B两点，若则该双曲线的渐近线方程为______________.

凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理。

二、创设教学情境，激发学生兴趣

公式和基础知识的学习通常比较枯燥，学生很容易在这一过程中产生厌倦情绪。教师必须抓住这一时期学生的学习心理，设置课堂情境，对学生进行引入式教学。兴趣作为学生学习的第一教师，在学习过程中起着至关重要的作用。在高中基础知识和公式的教学中，教师通过设置问题情境，调动学生探究学习的积极性，适宜的情景教学能够激发学生的求知欲，使其形成良好的学习体验。

比如，在学习到立体几何时，对于公式的学习可以结合平时的几何实物进行教学引入，然后通过多媒体和课件的教学设计，形成良好的情感体验，调动学生的创新性思维，营造生动活泼的课堂氛围。再如在“等比数列”一节的教学时，可以创设如下有趣的问题情境引入等比数列的概念：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但绝不可能追上它。①阿基里斯和乌龟各自所行的路程；②问阿基里斯能否追上乌龟？让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态。在向学生讲授“数列的通项公式”这一内容时，举出了 1，2，3，4，5，6，7，8…和 1，10，100，1000，10000…较为简单的数列，让学生求其通项公式。大部分学生都能迅速解出答案，并踊跃抢答。在思考和解答的过程中，学生深刻体会到数列中含有的规律性和趣味性，有效增强了学习数学的兴趣。

与此同时，教师不能因为过于注重趣味性，为了创设情境而创设情境，出现本末倒置的情况，从而忽略了教学目标和教学效果。教师必须明白的是情境的创设是为了更好地教学，情境教学作为一种方法、一种教学手段起到的只是辅助性的作用。教师在这一过程中需要恰当地进行情境引入，注意把握情境创设的度。以教学目标为出发点，进行情境教学的探索实践，从而实现教学水平提高的目标。

三、加强学生对公式的理解和应用

对于高中生而言，可能最让他们头疼的数学问题之一就是对大量公式的记忆。尤其是数学公式，数量多而且范围广，总是由字母和数字组成，而且数学公式中对字母有着不同的描述和限制。解决学生对公式的理解和记忆这一问题，是学生学好数学的第一步。而这作为教师重点关注的教学内容，也是我们今天主要探讨的。教师必须要让学生理解公式中的数字和字母所代表的含义，某字母是可以替换的，而某些却不能。某些字母在这一公式中代表的是这一含义，在另外的公式中就有不同的意义。还要让学生理解某些字母和数字之间的特殊关系，让他们能够根据这些关系解答题目。

比如，在三角函数公式中，sin2α+cos2α=1，其中的 α 就能够用其他很多实数来表示，学生不仅要对原始公式进行记忆，更要对变形形式进行记忆，还要对其中的实数进行替换，这就对学生的实际运用能力提出了较高的要求。另外，公式的灵活运用也是学生需要注意的。教师在教学中，不能忽略了对学生发散思维能力的培养。在公式的应用中，包括逆运用和变形形式等多方面的训练都需要加强。例如，上文所提到的三角函数公式，它的逆应用也经常出现在各种题目中，结合cos2α=1-2sin2α，体现余弦定理的应用，这需要学生在不断地练习中加强对这一知识的记忆，余弦定理反映了二倍角与正弦数量之间的关系，能解决高中数学常见的变形问题。

其实，最重要的内容也是教学的第一步就是教师需要帮助学生建立公式概念。一旦建立了概念，再结合有规划的训练，对学生的掌握能力进行培养锻炼，不断地挖掘其潜能，提高其实践能力，就能够实现提高学生应用公式的能力的目标。

四、深刻认知变式教学的重要性

所谓数学变式教学，就是在数学教学过程中不断变更数学概念中的非本质的特征，通过对问题的条件或者结论进行变换，对问题的形式或者是内容进行转换，从而实现暴露问题本质，探索数学内在联系，以及总结数学学习方法的目的。变式教学不仅在数学教学过程中应用广泛，同时在数学习题实践中的出现范围广，这就要求教师在教学过程中把握重点，重点施教。

例 2：已知集合 A=｛x|y=x2+1，x∈R ｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求A∩B。

学生在这类题目中经常会由于对集合的代表元素认识不清而导致错误。教师在上课时，可以抓紧时机给出以下变式：

变式 1：A=｛y|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

变式 2：A=｛（x，y）|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

变式 3：A=｛x+y|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

变式 4：A= ｛（x，y）|y=x2+1，x∈R｝，B= ｛（x，y）|x>1，y∈R ｝，

通过对公式的教学，使学生能够掌握公式的“顺用、逆用、变形”，教师在这一过程中，除了对学生进行传统的公式及记忆训练，还不能忽略学生对公式的推证这一过程的学习。引导学生能够自主对已有的公式进行推论证明，从而加深学生自身对公式的理解和认识，这对于学生思维的训练和学习习惯的培养具有非常重要的意义。注重习题的练习，在反复的练习中，使高中数学公式得到应用。例如在讲“集合及其运算”时，求A∩B。

教师通过这一组变式题，层层推进，使学生对“代表元素”的认识和理解呈螺旋式上升，从而对知识的理解更深刻，达到以一胜多的功效。反之，教师在讲完本题后如果不展开以上变式的话，学生对这一知识点的理解不深刻，下次依然会犯同样的错误。

再例如，在数列的教学中，最基本的就是等差数列和等比数列，特别是对数列的通项公式的研究，是变式研究教学中必不可少的要素之一。在教学过程中，所遇到的有关数列通项公式的题型也是千变万化，难以捉摸，但是教师要注意在这一过程中，将各个题型串联起来，通过由简入深的教学，以一带一，以公式为出发点，结合习题训练，使学生对公式的本质有所体会，让学生对于数学公式和数学习题产生“万变不离其宗”的感受。通过这些典型类型的专项训练，对学生理解和掌握公式有积极的作用。

总之，结合高中阶段学生的学习特点，教师必须为其量身订制适合他们的学习方法。在结合课改和高中生身心发展现状的基础上，要培养学生的辩证思维，带领学生进行思考，加强理论知识和实践能力的结合，提高学生的数学学习能力。教师通过对教学目标的把握，结合数学核心概念、核心思想，结合专项训练，向学生传达公式学习的理念，实现“一条线串百题”的效果。这对于公式的整体教学，以及对高中生数学思想的建立都会有很重要的作用。这样一来，实现教学水平和教学质量的提高，也是自然的事情了。