求生活中概率的五种方法

2018-02-26 02:09李继龙
初中生 2018年6期
关键词:纸牌列表小明

文 /李继龙

概率在生活中的应用很广泛,也是中考的重点.下面以生活中的概率为例,归纳求概率的五种常用方法,供你学习时参考.

例1把分别写有数字1,2,3,4,5的5张同样的小卡片放进不透明的盒子里,搅拌均匀后随机取出一张小卡片,则取出的卡片上的数字大于3的概率是______.

解析:在1,2,3,4,5中大于3的只有4,5,

点评:如果一个事件有n种可能,而且这些事件发生的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A发生的概率.用公式求概率是最常见的方法.

例2小明向如图1所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖,点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为( )

解析:如图1所示,连接BE,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠CAB=45°,

根据直径所对的圆周角是直角得∠AEB=90°,

∴AE=BE,

图1

选B.

点评:求几何图形概率,需要熟悉图形的性质,运用整体思想、转化思想、割补思想、补形思想等求面积.这类题已成为近年中考的常见题,一般用几何图形的面积比求概率.

三、用频率估计概率

例3图2显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断:

①当投掷次数是500时,计算机记录钉尖向上的次数是308,所以钉尖向上的概率是0.616;

②随着试验次数的增加,钉尖向上的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计钉尖向上的概率是0.618;

③若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为1000时,钉尖向上的频率一定是0.620.

其中合理的是( )

A.①. B.②. C.①②. D.①③.

图2

解析:当投掷次数是500时,计算机记录钉尖向上的次数是308,所以此时钉尖向上的频率是:308÷500=0.616,但钉尖向上的概率不一定是0.616.①错误.

随着实验次数的增加,钉尖向上的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计钉尖向上的概率是0.618.②正确.

若再次用计算机模拟实验,当投掷次数为1000时,钉尖向上的频率可能是0.620,不一定是0.620.③错误.

选B.

点评:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定值附近摆动,并且摆动的幅度越来越小,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.

四、用列表法求概率

例4如图3,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.

(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌是中心对称图形的概率;

(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌都是轴对称图形,则小明获胜,否则小亮获胜.这个游戏公平吗?请用列表法(或树形图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).

图3

解析:(1)共有4张牌,正面是中心对称图形的纸牌有B,C,D共3张,所以摸到中心对称图形的纸牌的概率是

(2)把摸出的两张牌的情况列表如下:

A B C D A(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)(D,C)C(A,C)(B,C)D(A,D)(B,D)(C,D)

共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两张牌都是轴对称图形的有(A,B),(A,D),(B,A),(B,D),(D,A),(D,B)6种,

因此这个游戏公平.

点评:列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果,即求出n,从中算出符合事件A的数目m,利用公式求出概率.列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时,可以用列表法列举,也可用树形图列举.判断游戏是否公平的关键在于双方获取的概率是否相等.若游戏双方获胜的概率相等,说明游戏是公平的,否则游戏不公平.

五、用树形图求概率

例5端午节放假期间,小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海(记为A)、兴文石海(记为B)、夕佳山民居(记为C)和李庄古镇(记为D)中的一个景点去游玩.他们各自在这四个景点中任选一个,每个景点被选中的可能性相同.

(1)小明选择去蜀南竹海旅游的概率为______;

(2)用树形图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率.

解析:(1)∵小明选择游玩的景点有A,B,C,D四种,

(2)小明和小华选择游玩的景点的树形图如图4所示:

图4

两人选择的方案共有16种等可能的结果,其中都选择兴文石海B只有1种,

点评:画树形图法适用于事件涉及两个或更多元素,它能不重不漏地列出所有可能的结果.当事件分三步或三步以上时,用树形图求解比较方便.

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