转子式机油泵的椭圆与类椭圆齿廓修形方案分析

霍鹏光 龚金科 蔡 皓

1.湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，4100822.湖南省机油泵股份有限公司，衡东,421400

0 引言

机油泵内外转子在运转啮合时，内外转子的齿廓线形不仅影响机油泵工作运转的啮合平稳性，而且对运转过程中的啮合连续性有很大影响，进而影响机油泵的整体性能，因此，进行转子式机油泵的齿廓线形的优化设计显得尤为重要。国内学者宋如钢等[1]对一种新型的内啮合圆弧摆线转子泵进行了研究，并改善了普通转子泵的啮合特性；黄将兴等[2]对摆线齿廓啮合界限点的二次包络曲线进行了优化设计；毛永华等[3]提出了转子泵各设计参数的确定原则，并分析了内外转子的相互关系；曾庆生等[4]对转子式机油泵进行了多学科优化设计。国外学者JUNG等[5-7]对机油泵的齿廓线形进行了大量研究，提出了圆弧-椭圆复合摆线以及新型凸轮齿廓等；CHOI等[8]在内外转子的偏心研究中提出在内摆线和外摆线之间插入一段圆弧曲线，用来控制内转子的尖端宽度以提高泵运转过程中的流动性；BAE等[9]采用理论公式预测算法对50万种转子线型进行了分析，采用自动设计和多重计算程序确定了转子线型设计参数的最佳取值范围，提高了油泵燃油效率；INAGUMA[10]研究了外转子摩擦力对内啮合齿轮泵摩擦力矩特性的影响，研究表明作用在外转子圆周上的不平衡力引起油泵产生较大的扭矩，可通过在外转子圆周上设置一个卸荷槽以减小不平衡力，通过计算出的压力分布结果，可估计出外转子与泵体之间的摩擦因数。

由于尺寸的限制，现有转子线型很难满足性能(特别是低速性能)的需求。为了增大转子式机油泵在低速时的流量，本文研究了一种新型转子线型方程及其相应的修形方法，并在流量性能、液力矩与接触力方面与原椭圆线型进行了比较。

1 类椭圆齿廓设计

类椭圆外转子的每半个齿的齿廓由一段类椭圆弧、一段齿底圆弧以及与类椭圆弧和齿底圆弧同时相切的圆弧倒角组成。类椭圆弧的椭圆率随齿廓角呈平方根递增。内转子的每个齿的齿廓为外转子类椭圆段齿廓的共轭曲线，内外转子的每对齿在啮合过程中均参与啮合，且啮合线封闭。图1和图2分别为类椭圆齿廓设计和计算参数示意图。

图1 类椭圆齿廓设计参数关系示意图Fig.1 Schematic diagram of the design parameters of similar elliptical tooth profile

图2 类椭圆外转子理论齿廓计算参数示意图Fig.2 Schematic diagram of calculation parameters of similar elliptical outer rotor theoretical tooth profile

1.1 确定外转子类椭圆理论齿廓

以具有相同基本设计参数的椭圆外转子的一个齿廓中心OT为类椭圆外转子的齿廓中心，构造其理论齿廓，在以外转子中心O1为圆心，固连在外转子上的直角坐标系O1x1y1内，类椭圆外转子的齿廓方程为

(1)

a0=b+(a-b)(π/2)-1/2α1/2

(2)

式中，a、b分别为原椭圆齿廓的长短半轴长；R1为齿廓中心OT到外转子中心O1的距离；α为过外转子理论齿廓上任意点与齿廓中心OT的连线与y1轴的夹角；a0为与齿廓角α有关的系数，当α从0→π/2时，a0从b按平方根增至a。

确定外转子类椭圆理论齿廓啮合界限角与类椭圆-圆弧倒角切点角，并由此构造外转子实际齿廓。外转子理论齿廓上过任意点的切线与x1轴的夹角γ为

(3)

当过类椭圆外转子齿廓上某点的法线与外转子节圆的交点数目为1时，外转子圆心到该线的距离等于外转子节圆半径，其表达式如下：

x1cosγ+y1sinγ=r1

(4)

式中，r1为外转子节圆半径。

联立式(3)、式(4)，可求得齿廓角α，即为类椭圆齿廓外转子啮合界限角αf。

坐标系O1x1y1内圆弧倒角与齿底圆的齿廓方程表达式分别如下：

(5)

(6)

式中，β为圆弧倒角任意点与圆弧倒角中心Oc的连线与x1负半轴之间的夹角;rd为圆弧倒角半径;xOc、yOc为圆弧倒角中心点的横坐标和纵坐标；r1b为外转子齿底圆半径；θ为齿底圆上任意点与外转子中心的连线与y1轴之间的夹角。

圆弧倒角段中两个特殊的角度关系表达式分别如下：

βd=cot tanγd

(7)

βc=θc+π/2

(8)

式中，βd为与类椭圆段相切的圆弧倒角起点与圆弧倒角中心的连线与x1轴之间的夹角;γd为过外转子理论齿廓上对应类椭圆-圆弧倒角切点角αd的点的切线与x1轴的夹角;βc为与齿底圆弧相切的圆弧倒角终点与圆弧倒角中心的连线与x1轴的夹角;θc为与圆弧倒角段相切的齿底圆起点与外转子中心的连线与y1轴之间的夹角。

将式(7)代入式(3)和式(5)，求得xOc、yOc用αd表示的解析表达式。将得到的xOc、yOc以及式(8)代入式(5)、式(6)中，分别得到x1、y1用αd表示的θc。当两θc相等时，此时表达式即可求得内类椭圆-圆弧倒角切点角αd。比较αf与αd，仅当αd≥αf时才能生成正确的齿廓，根据计算得到的αf与αd，进而计算得到相应的βd、βd与θc，由此生成外转子的实际齿廓。

1.2 确定内转子类椭圆理论齿廓

内转子齿廓为外转子理论齿廓在0≤α≤αf范围内的共轭曲线。在以内转子中心O2为圆心，固连在内转子上的直角坐标系O2x2y2内，可得到内转子齿廓的相关表达式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，φ1为过外转子任意点上法线与外转子节圆的交点与外转子中心的连线与y1轴的夹角，同时也为外转子旋转角;φ2为内转子旋转角;z1为外转子齿数;z2为内转子齿数;ψ为φ1与γ之间的夹角;e为偏心距。

2 修形方案

不考虑公差时，现有Cummins6B泵外转子齿底圆半径Rb为64.38/2=32.19 mm。椭圆齿廓中心到外转子中心距离为齿顶圆半径与椭圆齿廓短半轴之和42.383/2+21.89/2=32.136 5 mm。内转子齿顶半径为53.288/2=26.644 mm。按偏心距为5.529 mm计算，以外转子圆心为原点，当内外转子任意一对齿位于y轴位置时完全啮合，则此时内转子齿顶纵坐标为26.644+5.529=32.173 mm，其值大于此时外转子齿底圆半径纵坐标32.136 5 mm，因此，即使考虑了公差，也有很大的几率造成无法安装。

现有的Cummins 6B泵内转子齿廓为椭圆弧，并非外转子椭圆弧的共轭曲线。此设计的弊端在于由于旋转时内外转子的非共轭性，机油泵运转平稳性降低，振动增大。现根据相关计算，得到外转子齿廓椭圆段共轭曲线的内转子齿顶半径约为26.720 5 mm，则外转子齿底圆半径Rb更改为26.720 5+5.529=32.249 5 mm，不影响转子的正常啮合。

由于线切割加工精度为0.02 mm，则预设定内转子最小修形量为0.02 mm。随着转角量的增大，间隙也增大。为了避免严重内泄，目前研究的转角量设为0.1°与0.2°。初步研究以下4种修形方案：①方案1(等距修形0.02 mm)；②方案2(等距修形0.04 mm)；③方案3(转角修形0.1°+齿顶齿底等距修形0.02 mm)；④方案4(转角修形0.2°+齿顶齿底等距修形0.04 mm)。

由于要求机油泵流量不能减小，根据以前相关研究结果，预研究外转子理论齿廓线形为椭圆与类椭圆，因欠缺包含详细线形的现有转子三维模型，本文未对现有产品线型进行研究。图3所示为椭圆齿廊与类椭圆齿廊对比。

(a)椭圆 (b)类椭圆图3 椭圆齿廓与类椭圆齿廓对比Fig.3 Comparison of elliptical tooth profile and elliptical tooth profile

(1)椭圆齿廓。内转子采用方案3修形后，共轭部分对应内转子理论齿廓极角为24.181 72°～40.445 85°，连续旋转角度为130.647 74°-13.089 63°≈117.56°>72°，满足连续传动要求；内转子采用方案4修形后共轭部分对应内转子理论齿廓极角为24.177 96°～40.446 89°，连续旋转角度为130.659 14°-13.086 61°≈117.57°>72°，也满足连续传动要求。具体修形量如图4a所示。

(2)类椭圆齿廓。内转子采用方案3修形后，共轭部分对应内转子理论齿廓极角为21.728 73°～38.160 08°，连续旋转角度为132.266°-10.931 05°≈121.33°>72°，满足连续传动要求；内转子采用方案4修形后，共轭部分对应内转子理论齿廓极角为21.725 16°～38.160 91°，连续旋转角度为132.276 22°-10.928 13°≈121.35°>72°，也满足连续传动要求。具体修形量如图4b所示。

(a)椭圆

(b)类椭圆图4 齿廓修形方案Fig.4 Tooth profile modification scheme

3 流量性能分析

基于PUMPLINX专业泵阀软件平台进行机油泵CFD仿真预测，PUMPLINX流体域二叉树网格如图5所示。采用PUMPLINX自带的摆线内齿轮泵的模型，设置模型参数见表1。添加湍流模型、空化模型以及流线，并进行仿真预测。图6为残差收敛时流动压力云图。

PUMPLINX模型参数内齿轮数4外齿轮数5旋转方向逆时针旋转转速(rad/min)750旋转轴(m)(0,0,1)端面间隙(m)5×10-5间距内径(m)0.0079间距外径(m)0.0357内转子中心(m)(0,0,0)外转子中心(m)(0,-0.00552,0)间距层数5外转子径向间隙(m)1×10-6内转子径向间隙(m)0机油密度(kg/m3)790动力黏度(N·s/m2)0.00051入口压力(Pa)91325出口压力(Pa)401325工作温度(K)373饱和压力(Pa)400气体质量分数9×10-5每转一个内齿迭代步数80

图6 流动压力云图Fig.6 Flow pressure cloud image

旋转圈数为5圈，不考虑泄漏，不同方案得到的平均流量的仿真结果如表2所示。由表2可以看出：①具有较小间隙修形方案的转子泵流量较大;②相同修形方案的前提条件下，类椭圆齿廓转子泵流量大于椭圆齿廓转子;③等距修形方案的流量大于具有相同最小间隙的转角修形+齿顶齿底等距修形方案4的流量，即方案1流量大于方案3流量，方案2流量大于方案4流量；当转角修形量为0.1°时，转角量对流量的影响不明显。

表2 平均流量仿真Tab.2 Average flow simulation L/min

图7所示为流量稳定后内转子旋转第5圈瞬时的流量。

(a)椭圆

(b)类椭圆图7 瞬时流量Fig.7 Instantaneous flow

由表3可以推断，在满足流量性能的前提下，

表3 流量不均匀性

可从流量不均匀性考虑：①修形方式对椭圆齿廓与类椭圆齿廓的影响各不相同。采用等距修形时，较大的修形量会改善椭圆齿廓流量的不均匀性(亦或仿真精度导致)；其余情况均表示较小的修形量会改善流量的不均匀性。②采用相同修形方式时，类椭圆齿廓流量的均匀性优于椭圆齿廓。

4 液力矩分析

不同方案流量稳定后内转子旋转第5圈时，内转子上的液力矩如图8所示。与内转子液力矩相关的内转子平均液力功率如表4所示。

(a)椭圆

(b)类椭圆图8 内转子液力矩Fig.8 Inner rotor hydraulic torque

W

由图8与表4可以看出：①内转子液力矩在内转子旋转时一直起阻碍作用；②方案4的内转子上的液力矩较平缓，其最大扭矩也较小；③不同修形方案对不同齿廓的影响均不相同，需用台架实验进行确定。总体而言，采用较大的修形量会稍微降低内转子上的液力矩。

(a)椭圆

(b)类椭圆图9 外转子液力矩Fig.9 External rotor hydraulic torque

不同方案流量稳定后内转子旋转第5圈时，外转子上的液力矩如图9所示。由图9可以看出：①外转子上的液力矩大多数时候起阻碍作用，但有时会起到推动外转子的作用；②方案3、4的扭矩曲线较为平缓；③椭圆与类椭圆齿廓数据相差不大，类椭圆齿廓外转子上的最大负液力矩大于椭圆齿廓。

5 多体动力学分析

采用ADAMS模拟仅考虑内外转子啮合时的多体动力学，边界条件为内转子转速为750 r/min，加载上述内容中已得到的内外转子上的扭矩，设置ADAMS仿真迭代步为10 000。

5.1 接触力分析

图10所示为得到不同齿廓内转子上的接触力。由图10a可以看出，椭圆齿廓采用方案1修形时，其接触力峰值较大；方案2的前3个接触力峰值较小，仅第四个峰值略高；方案3仅次于方案2；方案4的接触力峰值差异较小。由图10b可以

(a)椭圆

(b)类椭圆图10 不同齿廓内转子接触力Fig.10 Contact force of rotor in different profile

看出，类椭圆齿廓采用方案1修形时，峰值较低，且差异较小；方案2的应力峰值略高于方案1，分布亦较平均；方案3的前三个接触力峰值小于方案1，仅第四个峰值略高；方案4的接触力峰值最高，相互之间差异不大。

图11所示为相同方案内转子上接触力。由图11可以看出，类椭圆齿廓内转子接触应力小于椭圆齿廊的内转子接触应力，且峰值间差异较小。内转子轴心处扭矩主要受接触力的影响，液力矩的影响几乎可忽略，趋势与图10、图11类似，此处不做进一步研究。

(a)方案1

(b)方案2

(c)方案3

(d)方案4图11 相同方案内转子接触力比较Fig.11 Comparison of rotor contact force in the same scheme

5.2 外转子转速分析

(a)椭圆

(b)类椭圆图12 不同齿廓外转子转速比较Fig.12 Comparison of rotor speed with different profile

图12所示为不同齿廓外转子转速。由图12可以看出：①随着修形量的增加，外转子转速的波动加剧，由于方案1的修形量很小，其对外转子转速波动的影响也较小；②采用转角修形+等距修形的方案3与方案4，其在转角修形处的转速波动与方案1接近。

6 结论

(1)采用相同修形方法时，类椭圆齿廓转子泵与椭圆齿廓转子泵相比，流量较大、内转子上的液力矩与接触力较小，转速波动相差不大，有利于提升流量性能与降低能耗。

(2)采用不同修形方法的结果表明，修形量较小时转子泵流量较大，此时采用“转角修形+等距修形”可适当降低内转子接触力与液力矩，同时对转速波动影响不大。

(3)由于现有产品的内转子线形为椭圆而非外转子椭圆线形的共轭曲线，建议在加工精度允许的情况下，优先进行采用方案1与方案3修形的椭圆齿廓与类椭圆齿廓转子泵台架实验。

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