提高课堂例题有效设计，培养学生发散思维能力

范叔旺

“问题是数学的心脏”，没有问题就没有数学，数学教学应该是以不断地提出问题，并解决问题的方式来获取新知识、发展新思维.教师在习题的教学中，理应科学、合理地创设一系列问题，引导学生探究问题的解决过程，培养学生的思维能力.

高中数学习题教学的目的不仅是让学生掌握已学的公理、定理、定义，更重要的是掌握科学的思维方式、方法.培养和拓展学生发散思维能力，对提高其数学素养有着举足轻重的作用.怎么样来培养学生的发散思维的能力呢？概括地说，要为学生提供展示发散性思维的机会，安排能激励学生发散性思维的环境，逐步培养学生广范围、多角度地思考问题和解决问题的习惯.下面结合实例，谈谈作者在数学习题课教学中培养学生发散思维能力的一些做法.

一、通过经典例题的变式训练，培养学生的思维的变通性

对例题的变式的目的是对题目中所围绕的知识进行挖掘和辨析，从而让学生理解概念的内涵与外延.变式的后续衍生就是对知识的发散，继而产生探究的欲望.

比如，在人教版必修5不等式一章对基本不等式的学习中，就有必要安排变式教学.

例1   若x>0，求f（x）=x+ 1 x 的最小值.

变式1：若x<0，求f（x）=x+ 1 x 的最大值.

变式2：若x>3，求f（x）=x+ 1 x-3 的最小值.

变式3：若x∈（0，π），求f（x）=sinx+ 4 sinx 的最小值.

教师在改造例1的时候，就是要学生在利用基本不等式时注意“一正，二定，三等号”.三个变式很有针对性地体现了教学目的.通过变式，让学生更深刻地认识了基本不等式的应用条件和认识深度.

在把握好学情，符合教学需求的前提下，好的变式题的设计，最终是从问题走向问题，使知识的宽度和深度得到发展，使知识的内涵更加丰富，应用方式更加灵活.

二、通过一题多解的训练，培养学生思维的广阔性

试题常常触及的是某个知识点的部分内容，或不同知识的同一个方面，学生解题的思路也不尽相同.我们常常通过一题多解的方法，把相互关联的知识有机地进行整合，以点带面，形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络，有利于学生全面、完整地理解知识间的本质联系和发展，形成新的认知结构，既拓展了思维空间，又培养思维能力，使思维活动得到极大的发散，达到培养学生思维广阔性的目的.

例2   （2015年5月南通、扬州、泰州、淮安四市高三第二次调研考试第11题）如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧EF上的动点.则PC ·PD 的最小值为 .

第一类方法：坐标法.以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，设P（x，y），则x2+y2=1（0≤x≤1，0≤y≤1），则PC ·PD =5-2x-4y，问题转化为求二元函数最小值，笔者展示学生的3种不同的处理方法.

解法1  （不等式法）因为（x+2y）2≤（1+22）（x2+y2）=5，所以PC ·PD ≥5-2 5 ，当P   5  5 ， 2 5  5  时取等号.

解法2  （线性规划法）令z=5-2x-4y，则直线l：2x+4y+z-5=0，将直线l0：x+2y=0平移至与圆弧EPF相切时，此时z取最小值，即d= |z-5|  22+42  =1，所以z=5+2 5 （舍去），z=5-2 5 ，即（PC ·PD ）min=5-2 5 .此外，还有 学生采用参数处理，解题效率较高，笔者也让学生进行展示.

解法3  （参数法）设P（cosθ，sinθ），0≤θ≤ π 2 ，则PC ·PD =5-2cosθ-4sinθ

=5-2 5 sin（θ+φ）≥5-2 5   tanφ= 1 2 ，φ∈ 0， π 2   .

第二类方法：基底法.展示学生3种不同的解法.

解法4  以AB ，AD 为基底，PC ·PD =（AC -AP ）·（AD -AP ）=5-（AP ·AC +AP ·AD ）

=5-AP ·（AC +AD ）=5-|AC +AD |cos〈AC +AD ，AP 〉≥5-2 5 （当且仅当点P在AC +AD =AG 上取得等号）.

解法5  设∠PAB=θ，PC ·PD =（AD -AP ）·（AB -AP +BC ）=-2AD ·AP +4-AB ·AP +1=5-2cosθ-4sinθ（下同解法3）.

解法6  取CD的中点O，连接PO，则PC ·PD =（PO +OC ）·（PO +OD ）=（PO +OC ）·（PO -OC ）=PO 2-OC 2=|PO |2-1，其中|PO |∈[ 5 -1，2]，故当|PO |= 5 -1时，（PC ·PD ）min=5-2 5 .

由于不同学生思考问题的角度不完全一样，因此，展示两类方法6种解法，帮助学生建立相对完整的处理这类问题的方法体系，这样的体系，具有导向作用.虽然坐标法和基底法都是處理向量问题的通行通法，但是由于处理的方式不一样，导致运算量不同.这说明通性通法虽然思路具有较强的规律性，但解题效率存在着差异.因此，一题多解的实质不在方法的罗列，而在思路的分析和方法的对比，在对比中揭示方法的优劣，让学生在今后的解题活动中，有序提取解题方法，有效提高解题效率.从而也挖掘了习题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高.

三、通过多层次思维的训练，培养学生思维的深刻性

精心设计有层次、有坡度、要求明确的例题，逐步加深问题的难度，引发学生思维逐渐加深，促进思考各数学知识之间的联系，有效地培养学生思维的深刻性.

例3   过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作一条直线l和此抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.则：

（1）求证：x1x2= p2 4 ，y1y2=-p2;

（2）若直线l的倾斜角为θ，求弦长|AB|;

（3）求证：CF⊥DF;

（4）问 1 |AF| + 1 |BF| 是否为定值;

（5）过点A，B作AC，BD垂直于准线于C，D，则点A，O，D三点是否共线;

（6）若直线AO与抛物线的准线交于点D，求证：BD∥x轴.

（7）若M，N分别是线段AB和CD的中点，连接MN交抛物线于点R，则点R是否平分线段MN.

本题一题多问，7个问题引导学生将思维活动走向深入，问题难度依次加大，从基本规律的应用到综合解题，能力要求越来越高，是培养学生思想能力好的题组.

一个问题的解决，并不是问题的终了，而是通过问题的演变、引申，拓宽思路、积极探究、终获知识、发展思维.课堂以“问题串”组织教学，由一个问题出发，进行引申与拓展，引导学生自己去联想、探索，探究出某类问题的内在规律，以培养学生由此及彼的思维迁移能力.因此，教师要善于设置低起点、小台阶式的练习，把学生的理解逐步引向深入，使数学思维能力得到提高.

四、通过课堂例题的“示错”与“纠错”训练，培养学生思维的辩证性

所谓“示错”，就是在课堂上展示学生的错误、烦琐等解法，让学生自己发现解题中的思维误区，自己比较计算中的“繁”与“简”，自己体验解题方法中的“优”与“劣”，才能在下一次的解题中“规避”错误，合理运算.而后由学生和教师共同“纠错”，找出最合理的解题方法.

例4   已知sin α+ π 3  = 4 5 ，α∈  π 6 ， 2π 3  ，求cosα的值.

学生给出的三种解法：

解法1  由sin α+ π 3  = 4 5 ，得 1 2 sinα+  3  2 cosα= 4 5 ，与sin2α+cos2α=1组成方程组，因解不出cosα而停止.

解法2  因 π 2 <α+ π 3 <π，sin α+ π 3  = 4 5 ，

故cos α+ π 3  =- 3 5 ，

1 2 sinα+  3  2 cosα= 4 5 ， 1 2 cosα-  3  2 sinα=- 3 5 ，  解得cosα= 4 3 -3 10 .

解法3  （僅2人）同解法2，cos α+ π 3  =- 3 5 ，

故cosα=cos  α+ π 3  - π 3  =cos α+ π 3  cos π 3 +sin α+ π 3  sin π 3 = 4 3 -3 10 .

针对上述解法，学生对解法2的认同度比较高，作为新学的知识仅仅以解法2和解法3让学生理解解法3的优越性，似乎很难做到，于是教师又举例：“已知 π 4 <α<β< π 2 ，且sin（α+β）= 4 5 ，cos（α-β）= 12 13 ，求cos2α，sin2α的值.”学生仿照解法2那样，展开构造方程组是解不出sinα，sinβ和cosα，cosβ的，仍然会导致思维受阻.

通过举例，引导学生总结反思，强调“变”是三角变换的灵魂，在学生困惑时需要设计能“明辨是非”的习题，揭露问题本质.通过辨析，学生能认清这类题目的通法是“变角”，而构造方程组仅适合“条件角”只含有一个自变量的题目.

五、通过逆向思维的训练，培养学生思维的综合性

逆向思维是相对发散的一种思维方式.在平时的教学中，我们发现一部分学生只习惯于顺势思维，而不习惯于逆向思维.为此，我们通过以反证法、逆命题法、分析法、否命题法为解题方法的课堂例题设计，训练学生的逆向思维，培养学生对问题的综合分析能力.

例5   已知函数f（x）=2x2+mx+n，求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于1.

“正难则反”的反证法，是解决高中数学难题的“最精良的武器之一”.此题从结论反推到条件，从结果逆推寻找结论成立的充分条件，对解决问题有很大的好处，可培养学生的逆向发散思维，从而提高了学生的双向思维能力.

综上所述，教学活动的主题——对学生解题方法的指导，是激发和培养学生发散思维的一个重要环节之一.在解题中，不仅要使学生明确解什么，如何解，还要给学生一个自由发挥的思考空间，发散思维的广度，提出自己的新见解.通过对课堂例题的精心设计，培养学生的思维方式和方法，提高了学生的思维品质，实现了由知识向能力的升华.