想法合理 解读自然

徐爱勇

所谓“通性通法”是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法，是数学思想和数学方法在解决数学问题中的集中体现.

下面举例说明在解题过程中，以“通性通法”為出发点，使我们保持自然流畅的思维，自觉做到主动反思，从而能够寻求问题的最优解决策略.

1.“代数”与“几何”的自然

案例1 对于任意的实数k，关于x的方程x²-5x+4=k（x-a）恒有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

分析 本题普遍流行的解法是利用数形结合和化归思想，把该方程解的个数转化为图象的交点个数来研究.具体解法如下：

考虑函数y=x²-5x+4与y=k（x-a）的图象，根据题意，可得如图1所示的位置，则1

再分析 其实不少同学脑海里第一反应的思路并不是数形结合法，而是直接研究方程.由于该方程中字母较多，容易导致大家“半途而废”.俗话说，坚持到底就是胜利！只要我们稍加观察所得判别式不等式的特征，就不难得到下面的解法：

因为x²-5x+4=k（x-a），所以x²（k+5）x+4+ka=0，

又因为关于x的方程有两个不相等的实根，

所以△=（k+5）²-4（4+ka）>o，即k²+（10-4a）k+9>0.即对于任意的实数k，上式恒成立.则△'=（10-4a）²-4×9<0，则1

反思 同学们在解题过程中要有足够的自信，不能够束缚自己的思维，剥夺自主创造的空间.其实，数学解题的过程也可以分为三重境界：“温饱（会做）”、“小康（多解）”、“富裕（优化）”.而这三个步骤的顺序一般情况下是不可以跳跃的，也要顺其自然地发展.

2.“正面”与“反面”的自然

案例2 已知f（x）= -1/2x²2+x，是否存在实数m，n（m

分析 这道题属于一元二次函数在闭区间上的最值问题，这类问题的常……