举题说法：“直线、圆”典型问题探究

徐茂炳

【编者的话】亲爱的同学们，解析几何的本质是利用代数方法解决几何问题，这类问题的突破口往往是图形，然后把问题“台阶式”分解，达到化大为小的目的.希望今天的探究能帮助大家突破直线和圆方面的难点.

1.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0，两个顶点为A（l，2），B（ 1， 1），求顶点C的坐标.

同学们，题目要求我们求出点C的坐标，一般情况我们先设出其坐标，然后如何利用角平分线建立等量关系呢？初中我们知道“角平分线上的点到角的两条边距离相等”，从这个结论出发求解的难点是什么？（直线AC，BC方程比较复杂）那么角平分线还有什么性质呢？

请问，“已知三角形两个顶点A，B和另一顶点C的角平分线，我们如何作出顶点C？”我们可以作A关于直线l的对称点A'，然后直线A'B和l的交点即为点C.

解 设点A关于直线的对称点A'（m，n），则直线2x+y-1=0是线段AA'的中垂线，所以（n-2）/（m-1）=1/2，2×（m+1）/2+（n+2）/2-1=0，

即m-2n=-3，2m+n=-2

解m=-7/5，n=4/5.所以A'（-7/5，4/5）

（这个方程组怎么来的？中垂线即垂直平分线，垂直利用斜率，平分利用中点）

因为B（-l，-1），所以直线BC的斜率为9/2，所以直线BC的方程为y=-9/2x-11/2.所以联立方程组y=-9/2x-11/2，2x+y-1=0，解得x=-13/5，y=31/5，所以点C的坐标为（-13/5.31/5）

2.求证：四点A（O，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）共圆.

同学们，如果给你四个点，你如何判断四点共圆？

思路1，根据不共线的三点共圆，我们可以求出其中三个点构成的圆的方程，然后用第四个点检验；思路2，四边形对角互补.

那么从计算角度来说，思路1比较好操作.已知三点求圆的方程，我们可以设一般方程，然后解三元一次方程组，也可以联立垂直平分线的方程组（尺规作图的过程）.

证明 因为A，B，C三点不共线，（为什么交代这个？……