试论函数图像中的对称性问题

文鹏轲

摘 要：对函数图形中的对称性进行研究，能够帮助学生更好地理解函数图像对称性的应用。基于此，对函数图像中对称性的性质进行研究，并对函数图像的对称性问题进行具体分析，其中主要包括正弦函数的对称性、余弦函数的对称性、正切函数的对称性以及反比例函数的对称性四方面内容。

关键词：函数图像；对称性；反比例函数

随着人们对数学这一门学科的重视程度越来越高，函数作为数学学科中重要的组成部分，自然得到了人们广泛的关注。函数图像在实际应用过程中最为明显的性质就是函数图像的对称性，在解题过程中，需要利用对称性解决大量的数学题，与函数图像对称性相关的问题更是重中之重。所以，要想提高学生解决函数问题的综合能力，就要对函数图像中的对称性问题进行详细的

研究。

一、函数图像中对称性的性质

若函数为奇数时，则该函数图像关于原点对称，若函数为偶数时，则该函数关于坐标中的Y轴对称，利用这一性质能够解决许多问题。在求函数图像对称性的过程中，可以将该函数的图形在纸上画出来，并标上坐标轴。再将函数图像移动相应的位置之后，能够发现原函数以及移动后函数二者之间的关系，进而能够得到相应对称中心的坐标。另外，还可以利用函数图像的对称性质求得对称轴相关的信息。例如，已知一个函数的方程式，该函数的对称轴为X为1，根据这一信息就能够得出相应的函数对称信息。在解这道题的过程中，可以通过以下三种方法进行解答。第一种，特殊点法，该方法是将坐标原点带入到函数方程式中，加上对称轴的已知条件，能够求出函数中常数的具体数值。第二种，从对称点出发，由于已知对称轴的X为1，在坐标轴上取一点数值，利用对称性质将对称点的坐标带入进去，进而算出函数方程中的常数值。第三种，将常数的特殊值带入到方程式中去，分别讨论当常数等于0以及常数不等于0的情况。另外，在此过程中要注意的是，注意函数的性质，确定函数为奇函数还是偶函数，在此基础上进行计算[1]。

二、函数图像中的对称性问题

（一）正弦函数的对称性

正弦函数始终是函数图像中的难点问题，在解此种类型题目的过程中，要注意观察题干中给出的条件，并将条件与图像相互结合，这种方式能够简化解题步骤。在此过程中要注意将函数图像中的中值对称点找出，求出图像与坐标轴相交处的坐标值，并将其带入到函数方程式中，解决相关问题。另外，函数图像中的极值问题也是解决问题的关键。

（二）余弦函数的对称性

余弦函数图像的对称性与正弦函数的对称性之间具有较为相似的地方，根据函数的图像可以看出余弦函数中心值的大概位置，中值的点就是该函数的对称中线。接着，将中值为零的情况带入到函数中，求得函数在特殊点的方程式。另外，余弦函数中的两个极值与坐标轴中的竖轴相互对称，可以根据此性质求出该余弦函数对称轴的方程式。

（三）正切函数的对称性

正切函数与上面两种函数图像相比具有较大的不同，正切函数的函数图像以中心点为中点，呈中心对称，在正切函数中，没有轴对称，只有中线对称。这也是与其他函数图像差别最大的地方。另外，正切函数的图像与正弦函数和余弦函数的图像也存在较大的不同，正切函数的形状不具有连续性，而正弦以及余弦函数的图像具有较强的连续性，在解题过程中应对这一问题进行重点关注。函数图像的对称问题作为函数课程中的重点以及难点，应该得到老师和同学的关注，只有将知识灵活运用，才能够真正提升自身的解题能力[2]。

（四）反比例函数的对称性

反比例函数图像为中心对称图形，坐标原点为图形的中心点。对称轴符合y=x及y=-x的判定标准。在解题过程中，反比例函数对称性的应用范围较广。对“求图形面积”及“存在性问题”的解决，均可依照该性质来完成。例：“正比例函数与反比例函数的图形相交于A与B两点。分别以A与B两点为中心画圆，假设A点坐标为（1，2），求A与B两圆的阴影面积之和。”

分析：反比例函数具有对称性，因此A点与B点的坐标同样应具有对称性。由A点坐标可知，B点坐标为（-1，-2）。由于A、B兩圆与y轴关系均为相切，可知两圆半径均为1。依照上述思路，阴影面积即可求出。可见，利用反比例函数的对称性解决函数类习题，可将复杂的问题简单化，提高解题效率。

随着人们对函数图像对称性问题的重视程度逐渐提高，如何在日常学习中将对函数图像对称性问题进行深入研究，成为有关人员关注的重点问题。本文通过对各种类型函数的对称性进行研究发现，对其进行研究，能使学生对函数图像对称性质形成正确认识，进而在解题过程中提高函数图像的解题效率。由此可以看出，对函数图像中的对称性问题进行研究，能够为今后函数图像对称性问题的研究奠定基础。

参考文献：

[1]王小敏.巧用函数的对称性及辅助函数作函数图像[J].西昌学院学报（自然科学版），2015，24（1）：40-41.

[2]袁伟.正弦函数图像及余弦函数图像的对称性[J].西安文理学院学报（自然科学版），2016（1）：45-47.

编辑 高 琼