基于超单元和遗传算法的张弦桁架优化设计

(浙江省交通规划设计研究院 浙江 杭州 310035)

一、引言

张弦桁架结构在大跨度空间结构中是一种典型的刚柔结合的杂交体系[1]，在大跨度空间结构中是比较多见的结构形式，该结构形式主要集中在各种大型场馆、结构设施中，如深圳会议展览中心和上海浦东国际机场航站楼等[2,3]。张弦桁架结构通过预应力索、撑杆和拱形桁架三者相互连接而成，施加了预应力的索将通过撑杆对拱形桁架产生力的作用，使其反拱，此时的结构形成一个自平衡结构体系。索通过撑杆对上弦构件提供了支撑，改善了后者的受力性能，这样可以降低结构的挠度。同事，索承担了上弦结构产生的水平推力，可以大大降低支座的水平方向的推力以及水平位移，在大跨度空间是十分有效的刚柔结合的杂交体系[4]。

桁架截面尺寸、高度和撑杆数目、间距、垂跨比、矢跨比等都会对结构的杆件变形、内力和用钢量等产生重要的影响，因此对该种结构进行优化设计是十分重要和必要的[5,6]。遗传算法在优化设计中有着重要的作用，该方法不必去了解和操心如何去找最优解，而只要简单的否定一些表现不好的个体就行了。现有的对复杂结构优化分析可以通过有限元法结合遗传算法很好的完成，但是单次计算时间较长，不断的修改和反复计算则需要更多的时间，因此快速、准确的完成优化计算将是十分重要和必要的。而超单元具有快速、准确的计算特点。本文将遗传算法和超单元法相结合，对一跨度为118米的张弦桁架结构进行快速优化分析，不仅得到了很好的优化效果，同时节省了大量的宝贵时间。

二、超单元法

超单元法[7]是将结构划分为若干个子结构，并将各个子结构的自由度分成内部和边界自由度，再通过模型缩减方法将内部自由度转移到边界自由度上。根据变形修正的局部刚体化动力模型简化方法生成相应的超单元。

图1 局部刚体化动力模型简化方法的超单元

如图1所示，对一特定的区域r，该区域质心位于C位置，在该位置处的平动位移向量和转动位移分别表示为{qx,qy,qz}、{qφx,qφy,qφz}。以这六个基本的刚体模态对区域进行简化，则该区域上任一节点i的刚体运动可以表示为：

ui=Riq

(1)

其展开形式为：

(2)

其中，ui为区域中第i点的位移向量，q为刚体位移向量，Ri为六个刚体模态的变换矩阵，xci,yci,zci分别为区域中任一点i到该区域质心的距离。

为了对模型进行简化计算，这里将整个模型的节点分为内部节点、外部节点。内部节点的自由度由该区域的刚体自由度来代替，并进行刚体模态缩聚，因此，在该区域的刚体质心位置处增加内部超节点，表示如下：

(3)

其中，uo为外部节点的位移向量，uin为内部第n个节点的位移向量，Rn为内部第n个节点的位移变换矩阵，qn代表内部第n个节点的刚体模态，q代表内部自由度缩聚后的节点位移向量，R表示总体位移变换矩阵。

根据总体误差应变能最小原理有：

(4)

其中T=K-1((RTR)-1RT)TRTKR

根据上述(4)式的变换关系代入到动力学方程中：

(5)

再在方程的两边同时左乘TT，得到简化后的动力学方程：

(6)

式中，M,C,K为初始有限元结构的质量、阻尼和刚度矩阵；MR=TTMT，CR=TTCT，KR=TTKT为变化后结构的质量、阻尼和刚度矩阵，FR=TTF为变化后简化模型的载荷矩阵。

三、遗传算法

遗传算法的实现过程实际上就像自然界的进化过程那样。首先寻找一种对问题潜在解进行“数字化”编码的方案。然后用随机数初始化一个种群，种群里面的个体就是这些数字化的编码。接下来，通过适当的解码过程之后，用适应性函数对每一个基因个体作一次适应度评估。用选择函数按照某种规定择优选择。让个体基因交叉变异。然后产生子代。由于早期的遗传算法个体差异较大，因此为了避免早熟等现象，采用退火遗传算法，具体的个体适应度值为：

(7)

T=T0(0.99g-1)

(8)

式中Fi为第i个个体的适应度，M为种群大小，g为当前遗传代数，T为温度，T0为初始温度。

系统遗传算法所要解决的优化问题可以定义为使得目标函数f(x)(x∈Ω)最小，其中f是目标函数，x是在空间内的变量集，Ω为所有可行解集合。

四、计算模型

本计算模型采用一跨度为118m的张弦桁架结构，矢高10m，索垂度为3m，左端为固定铰支座、右端为滑动支座，如图2所示。索的弹性模量1.8×108kN/m2，截面积0.015m2。撑杆弹性模量2.0×108kN/m2，截面积0.0075m2。桁架的杆件弹性模量2.0×108kN/m2，截面采用倒三角圆形无缝钢管，其中支座与锚杆相连的腹杆(腹杆A)采用φ270×9圆形无缝钢管，其他位置的腹杆(腹杆B)采用φ160×6圆形无缝钢管。模型中主要考虑三种荷载作用：(1)索的预应力为1430kN；(2)结构自重；(3)屋面荷载，其中恒载1.2kN/m2，活载0.3kN/m2。

图2 计算模型

尺寸设计变量主要有支座与锚杆连接处的腹杆、其他位置腹杆、索、桁架杆件四个部分的离散变量组成。为了保证结构的基本形状，只需要对这四个位置的部件的半径r进行优化，因此该优化模型中有4个需要优化的变量。对于本次优化在满足给定载荷以及位移的条件下，其优化目标函数为：

(9)

其中上式第一项为各个杆件的重量，第二项下标“s”为索的参数。

遗传算法种群规模为100，每个变量用8位二进制数来表示，最大遗传代数为500，交叉概率为0.75，变异概率为0.04，结构重量收敛如图所示。杆件的优化尺寸结果如表1所示。有限元网格中节点254个，自由度数为792。将模型从左到有划分为2个超单元，该超单元模型有2个超单元，51个外部超节点，2个内部超节点，106个自由度，因此采用超单元后自由度有了大幅度缩减。图3为模型遗传算法总重量收敛历程，从曲线可以看出，在满足荷载和位移等要求下，结构的总重量从101.14顿优化为85.21顿，得到了很好的优化。具体的优化数据见表2所示。

图3 模型遗传算法重量收敛历程

类别优化前截面积(cm2)优化后截面积(cm2)索150.0140.2撑杆75.055.6腹杆A572.5491.2腹杆B201.1185.6

五、结论

1.遗传算法能很好地解决张弦桁架结构优化问题，直接以工程中根据构件的规格变量进行计算。

2.简单的利用遗传算法时计算量较大，这主要是由于每个个体的适应度都需要进行一次有限元模拟，会由于群体规模大和结构本身复杂而加大计算量，从而影响优化的计算速度，但引入超单元计算方法后，该问题得到了很好的解决。

3.优化前桁架结构重量(不含钢板、螺栓、垫圈、脚钉以及绝缘子串等构件的重量)为101.14吨，优化后为85.21吨，重量比原来降低了15.75%。

[1]刘永周.张弦立体桁架结构力学性能分析[D].兰州：兰州理工大学，2004.

[2]白正先，刘锡良，李义生.单榀张弦梁结构各因素的影响分析[J].钢结构，2011(3)：42-46.

[3]黄明鑫等.大型张弦梁结构的设计与施工[M].济南：山东科学出版社，2005.

[4]赵宪波，业继红.张弦梁(桁架)结构荷载态受力性能分析[J].空间结构，2005，11(2)：9-18.

[5]姚国红,刘树堂，康丽萍.单榀张弦桁架结构各因素的影响分析[J].2008，29(2)：65-70.

[6]许强松，刘树堂，姚国红.张弦桁架上弦面腹杆型式对结构内力的影响研究[J].广东土木与建筑，2008(10)；41-43.

[7]郑淑飞，丁桦.基于变形修正的局部刚体化动力模型简化方法[J].力学与实践，2008，20(6)：31-34.