浅析多元复合函数求导法则

张晓凤

【摘要】多元复合函数的求导法则更多的是用于含有抽象函数的复合函数求导中，这时必须利用复合函数求导法则来求解.本文给出了求导法则通俗易懂的解释，并结合实例，推广了复合函数的中间变量，同时又作为自变量的应用结果.

【关键词】多元复合函数求导；复合函数关系图

复合函数求导法则：（1）正确画出复合函数关系图；（2）看图写法则，因变量到某个自变量有几条道路，对该自变量的（偏）导数就是几个部分之和，每个部分（对应一条道路）用一元链式法则求出因变量对该自变量的导数；（3）一元求导用“d”，多元求导用“”；（4）将中间变量的表达式代入求导结果表达式中.

下面结合例题，分三种情况来阐述复合函数求导法则.

一、复合函数的中间变量为一元函数的情形z=f[u（t），v（t）]

例1 设z=uv+sint，而u=et，v=cost，求dzdt.

解 （1）正确画出复合函数关系图.z是u，v和t的函数，所以从z出发分出三条线.u和v都是t的函数，所以各分出一条线.画出如下图所示的复合函数关系图：

（2）—（4）看图写法则，一元求导用“d”，多元求导用“”，最终将中间变量的表达式代入求导结果表达式中.

由复合函数关系图可以看出因变量z到自变量t有三条道路，分别是z—u—t，z—t，z—v—t，所以因变量z对自变量t的导数就是三部分之和，每一部分用一元链式法则求出相应的导数，最后求出三部分之和就是所求函数的导数.

dzdt=zu·dudt+zv·dvdt+zt

=vet-usint+cost

=etcost-etsint+cost

=et（cost-sint）+cost.

二、复合函数的中间变量为多元函数的情形z=f[u（x，y），v（x，y）]

例2 设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求zx和zy.

解 （1）正确画出复合函數关系图.z是u和v的函数，所以从z出发分出两条线，u和v分别是x和y的函数，所以各分出两条线.画出如下图所示的复合函数关系图：

（2）—（4）看图写法则，一元求导用“d”，多元求导用“”，最终将中间变量的表达式代入求导结果表达式中.

由复合函数关系图可以看出因变量z到自变量x有两条道路，分别是z—u—x，z—v—x，所以因变量z对自变量x的导数就是两部分之和；因变量z到自变量y有两条道路，分别是z—u—y，z—v—y，所以因变量z对自变量y的导数就是两部分之和.每一部分用一元链式法则求出相应的导数，最后求出两部分之和就是所求函数的偏导数.

zx=zu·ux+zv·vx=eusinv·y+eucosv·1

=eu（ysinv+cosv）=exy[ysin（x+y）+cos（x+y）]，

zy=zu·uy+zv·vy=eusinv·x+eucosv·1

=eu（xsinv+cosv）=exy[xsin（x+y）+cos（x+y）].

三、复合函数的中间变量既有一元也有多元函数的情形

z=f[u（x，y），x，y]，zx=fu·ux+fx，

zy=fu·uy+fy.

对于此种情形，一种最常见的情况是：复合函数的中间变量x和y本身又是复合函数的自变量.

例3 设u=f（x，y，z）=ex2+y2+z2，z=x2siny.求ux和uy.

解 （1）正确画出复合函数关系图.u是和x，y和z的函数，所以从u出发分出三条线，z是x和y的函数，所以分出两条线.画出如下图所示的复合函数关系图：

（2）—（4）看图写法则，一元求导用“d”，多元求导用“”，最终将中间变量的表达式代入求导结果表达式中.

由复合函数关系图可以看出因变量u到自变量x有两条道路，分别是u—x，u—z—x，所以因变量u对自变量x的导数就是两部分之和；因变量u到自变量y有两条道路，分别是u—y，u—z—y，所以因变量u对自变量y的导数就是两部分之和.每一部分用一元链式法则求出相应的导数，最后求出两部分之和就是所求函数的偏导数.

ux=fx+fz·zx=2xex2+y2+z2+2zex2+y2+z2·2xsiny

=2x（1+2x2sin2y）ex2+y2+x4sin2y，

uy=fy+fz·zy=2yex2+y2+z2+2zex2+y2+z2·x2cosy

=2（y+x4sinycosy）ex2+y2+x4sin2y.

注意：对于本例，为了避免混淆和保持形式上的一致性，所以将等式右面u对x，y和z的偏导写为fx，fy和fz.

例4 （综合应用）若z=f（u，x，y）和u=φ（x，y）都有连续偏导数，求zx，zy.

解 复合函数z=f（u（x，y），x，y）可以看作是z=f（u，v，w）中v=x，w=y的特殊情形，这时z=f（u，x，y）的x，y既是自变量，又是中间变量，要特别注意区分.

显然，vx=1，wx=0，vy=0，wy=1.

由复合函数求导法则可得

zx=fu·ux+fx，zy=fu·uy+fy.

【参考文献】

[1]L Ambrosio，G Dal Maso.A general chain rule for distributional derivatives[J].Proc.Amer.Math.Soc.，1990（3）：691-702.

[2]S Samko，A Kilbas，O Marichev.Fractional Integral and Derivatives（Theory and Applications）[J].Teoret.mat.fiz，1993（3）：397-414.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.