广义Birkhoff系统的分离变量与局部能量积分

张 毅

（苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

研究动力学方程的第一积分有重要意义。如果能够找到若干积分，便对力学系统的动力学行为有所了解；如果能够找到全部积分，也就找到了问题的解。Whittaker在其著作[1]中讨论了一类完全可积的完整保守系统，其广义坐标全部为分离坐标，相应地系统有n个局部能量积分。Liouville将结果进行了推广：凡力学系统的动能和势能可以写成某种形式，则该力学系统可以分成单积分的形式来求解[1-3]。文献[4]从广义Chaplygin方程出发，将局部能量积分的理论推广到一类非完整保守系统。文献[5]初步研究了Birkhoff系统的局部能量积分。关于约束力学系统的分离变量和局部能量积分的研究尚不多见。

广义Birkhoff系统是Birkhoff系统的推广。在Birkhoff方程的右端增加一个附加项成为广义Birkhoff方程。由于附加项的调节作用，构造广义Birkhoff系统比Birkhoff系统更容易，非保守和非完整力学系统都可以直接纳入广义Birkhoff系统，因此，对广义Birkhoff系统动力学的研究具有重要意义[6-16]。笔者将研究广义Birkhoff系统的分离变量与局部能量积分问题，分别讨论分离变量为单变量和耦合的两个变量情形下，存在局部能量积分的条件及其形式，并将结果应用于Birkhoff系统。文中给出相应的算例以说明结果的应用。

1 分离变量为单变量时系统的局部能量积分

研究由 2n 个变量 aμ（μ=1，2，…，2n）描述的广义 Birkhoff系统。 设 Birkhoff函数为 B=B（t，av），Birkhoff函数组为 Rμ=Rμ（t，av），附加项为 Λμ=Λμ（t，av），则广义 Birkhoff方程为[6]

如果有一个Birkhoff变量，例如aj，可在Birkhoff函数B中被分离出来，即

则aj称为广义Birkhoff系统（1）的分离变量。……