数形结合塑模型 假设变量寻不变
——“分数除法解决问题例7”教学实践与评析

■ 武汉市江岸区岱山小学 杨石云

武汉市江岸区小学教研室 王 钊

一、教学背景

本节课教学内容是人教版数学六年级上册《分数除法》单元中的例7，也是教材新加入的内容。人教社教师教学用书中指出，本例采用的素材是“工程问题”，但并不是要求学生解决形形色色的“工程问题”，而是要借此让学生经历自主探究、解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《以下简称《标准》）中关于数学思考第二学段的目标中提到，在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。会独立思考，体会一些数学的基本思想。把解决问题例7安排在分数解决问题这个部分，不是单纯地教学工程问题的数量关系，而是用这个素材让学生经历数学思考的过程，学习数学思考的方法——假设法，培养学生归纳概括、抽象推理的能力。

然而在本节课的教学中，我们常常会发现，无论是假设具体数据还是抽象的单位“1”为路长，这种外在的形式学生容易模仿，真正的难点是对课中的核心问题“为什么假设的总路长不同，最后算出来的总天数却不变”的理解。《标准》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。因此，本节课的教学中，教师利用数形结合的思想，以线段图为载体、松紧带作为学具，向学生直观展示“两队每天修的长度占总长度的几分之几是不变的”这一抽象的结论。

二、教学设计

教学目标

1.让学生理解并掌握把工作总量看作单位“1”的分数解决问题的基本特点、解题思路和解题方法。

2.经历用假设法解决问题的探索过程，理解和掌握假设策略，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3.激发学生的学习兴趣，感受抽象和模型思想。

教学重点

能利用假设法解决把工作总量当作单位“1”的实际问题。

教学难点

理解假设不同数据得出相同结论的数学本质。

教学准备

多媒体课件，分别表示一队、二队、两队合修道路的三条松紧带。

教学过程

（一）复习引入，线段图初建模型

1.口答下面各题，并说说运用了哪些关系式？

（1）一条道路长 30米，如果每天修 6米，（ ）天可以修完。

（2）一条道路长40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一条道路长（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.看看这三道题，为什么道路的长度在不断增加，完成的天数却没有变？

生1：因为每天修的长度也在增加。

生2：因为总路程除以每天修的米数（工作效率）得到的商都是5。

3.出示线段图，揭示问题的本质。

现在你们看看，为什么完成的天数都是5天呢？

评析：在复习导入这一环节，引导学生复习回顾简单的含有工作效率、工作时间和工作总量的实际问题，并将这样的题目用线段图来表示，通过几何的直观性，在引导学生看图的过程中让学生体会到——只要每天修的长度占总长度的没有变，那么完成的天数一定就是5天。在此，学生初步体会到完成的天数5的倒数和每天修的长度占总长度的之间的潜在联系，为后续例题的学习做好铺垫。

（二）创设情境，假设法呼之欲出

2017年8月8日21时19分，四川九寨沟县发生7.0级地震，很多道路受损严重。两个施工队接到任务同时赶往灾区，课件展示课本情境图。

1.从图中你得到了哪些数学信息？

生：这条道路，如果一队单独修，12天才能修完；如果二队单独修，18天才能修完。

2.为了尽快帮助灾区人民疏通道路，如果你是抢修队的总指挥长，你打算怎么办？

生：两队合修，这样速度更快一些。

3.请你估计一下，两队合修可能需要几天完成？

生：（12+18）÷2=15（天）。

4.一队单独修12天就能修完，两队合修怎么还要15天呢？到底是多少天？（激发学生进一步思考）

生1：5天。

生2：6天，反正我觉得肯定比12天少。

5.这些都只是同学们的猜测，你们是不是遇到了什么困难？

生：这道题没有告诉我们道路的长度。

6.你能想出什么好办法解决道路长度的问题呢？

生：我们可以自己假设道路的长度为多长。

7.你认为假设成什么数据，会使你的计算更加简便。

生1：我假设公路总长度为18km。

生2：我想假设公路的总长度为36km，因为36是18和12的最小公倍数。

评析：当第一次面对解决例7时问题，多数学生会感到困难。因为缺乏总路程的具体数量，学生原有认知经验不足以调取所需信息，由此产生信息不足的困惑。教师通过“能不能假设公路的总长度”作为点拨，帮助学生自主形成了用假设法解决问题的思路。在情境的创设中教师的一步步导问，使得通过假设法来解决问题的策略呼之欲出。

（三）数形结合，假设变量寻不变

1.请各个同学汇报自己假设的公路总长以及计算出的相应数据，教师通过学生的回答，完善表格。

（要修的路）假设为： 18km 36km 1一队每天修多少？ 18÷12=1.5（km）36÷12=3（km）1÷12=1 12二队每天修多少？ 18÷18=1(km) 36÷18=2(km) 1÷18=1 18

两队合修，每天修多少？ 1.5+1=2.5(km) 3+2=5(km) 1 1 2+1_18= 53 6两队合修，需要多少天？18÷2.5=7.2= 71 36÷5=36 5 6= 36 1÷5 3 5(天)=715(天)5=71 5（天）

2.教师提问，学生讨论。为什么假设的道路长度不一样，但最后两队需要的天数是一样的？

生1：道路越长，一二队每天修的路程也相应的变长了。

生2：因为被除数和除数同时扩大了相同的倍数，商不变。

生3：因为一队和二队独自完成的天数没有变，所以一起完成的天数也不会变。

3.教师借助松紧带，数形结合，帮助学生理解变中不变的本质。

评析：在演示中，原始长度一样、同时又可变长或变短的三条松紧带，分别演示一队修路情况、二队修路情况以及两队合修的情况。松紧带可长可短变化的特殊演示，形象而又直观地体现了虽然路的总长度在假设的过程中不断变化，但是一队和二队每天修的长度占总长度的几分之几没有改变，那么两队合修时，每天修的长度和占总长度的几分之几也不会改变。松紧带教具的引入，是数形结合在本节课中突破难点的一次重要体现，学生直观的感受到：无论道路的长度假设为多少公里，两队合修的天数都一样，所以较简便的方法就是将这条道路假设为“1”。

（四）对比练习，变中不变建模型

1.一批货物，只用甲车运，3次就能运完；只用乙车运，6次才能运完。如果两辆车一起运，多少次能运完这批货物？

2.打印一批文件，甲单独打需要3小时，乙单独打需要6小时。为了尽快完成打印任务，两人决定合打，多少时间能打成？

3.塑料游泳池有两个排水口，如果只打开A口，3分钟能放完游泳池里的水，如果只打开B口，需要6分钟。如果两个出水口同时打开，几分钟分可以全部放完游泳池里的水？

生1：这三道题都是一起合作的，比如第1题是一起运东西，第2题一起打文件，第3题是两个排水口一起排水。

生2：都是不知道工作总量的。需要我们来假设工作总量。

师：同学们，你们说得都很好。如果一项工程，甲单独做需要a小时，乙单独做需要b小时，两人合作几小时能够完成？怎样列式？

评析：通过运货、打印、排水等情境对比，帮助学生梳理相同之处，凸显了分数除法解决例7问题的本质特征，并通过字母抽象出总量用1表示的分数除法解决问题的模型。

（五）回顾梳理，建构模型谈收获

1.课堂小结。

2.课堂作业：课本第45页 6、7题。

3.家庭作业：课本第45页 8、9题。

三、分析研究

（一）假设变量，探寻变中有不变

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、推理等。学生在积极参与数学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。这些数学思考方法的习得不是一朝一夕的形成，必须由学生通过大量的数学活动逐步获得。

在教学片段（二）中，根据学生的知识基础这里没有两队合修的长度，他们利用工作总量、工作效率、工作时间三量关系无法解决。因此，教师在这一环节进行了引导，引导学生可以“假设这条道路的长度”，让学生通过自己假设的数据尝试解决问题。

在教学片段（三）中，教师将不同学生的答案通过表格投影展示出来，引导学生观察对比：“看了上面几位同学的做法，你有什么发现？”学生通过假设不同的总路长，发现总路长不同，算出的总天数都是相同的，此时教师引导学生思考：总天数和总路长有关系吗？为什么总路长改变，得到的总天数却是不变的？有了前面复习引入环节的铺垫，经过小组讨论，学生从多种角度解释了这个问题：因为一队和二队每天修的长度分别是这条公路长度的，所以完成的天数也不会变。

在教学片段（一）中，学生有了第一次的观察对比的经历，初步体会到变化中存在着不变；在教学片段（三）独立假设总路长计算出例题的结果后，教师再次引导学生进行了第二次的观察对比，所提出的问题与教学片段（一）复习引入的环节中的问题类似，学生很快进行了类比联系。两次观察对比，一次比一次更加深入，既沟通了知识之间的联系，又再次加深了学生对于“变化中有不变量”的数学思想的认识。

（二）数形结合，挖掘数学本质

数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合的思想方法能够巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似复杂的问题变得简单而又直观，让学生观察探寻到变化中寻求不变量的本质问题。

在教学片段（一）中，通过线段图的对比，学生初步认识到，只要每天修的米数占总长度的这个数量关系不变，那么最后完成的天数肯定就是5天。通过线段图的直观呈现，学生初步探寻到“变中寻找不变”的相关规律。

在教学片段（三）中，通过表格的直观演示，学生很自然地产生疑问：“两队合修的长度不同，为什么都是天完成呢？”这就自然地引发学生思考并进入解决问题的过程。当学生的回答只停留于表面现象时，教师通过松紧带的直观演示。这里松紧带教具的引入，与线段图相比，可以向学生更加直观地演示其变长缩短的过程。对于新鲜的教具，学生观察起来兴致也比较高，在高涨的学习热情中理解了本节课的教学难点。

（三）积累经验，提升数学素养

《标准》中指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，而数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程逐步积累的。

本道例题作为总量用1表示的分数除法，就已经比较抽象，而作为一个数学模型的建立，抽象难度更大。在教学片段（四）中，通过算式同为的运货、打印、排水情境的问题比较，学生经历了同素异构的抽象，较好感知了的解决问题模型。

本节课学生充分地经历了假设、验算、推理、归纳、数形结合的思维过程，核心问题的分析理解过程，数学模型感知和解决问题策略形成的过程，有效地落实了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养与训练。

总之，这节课的教学以学习方法的探究为主，打破总量用1表示的分数除法解决问题的传统教学模式，以基本数量关系为基础，通过“假设法”引导学生探究此类型解决问题的结构特征，通过数形结合的方法，讨论“假设数据不同，得到的结果相同”的原因，深入理解总量用1表示的分数除法解决问题的实际意义，拓宽学生对分数除法解决问题的理解。