有限群亏零p-块的存在性

钱方生

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨 150025)

1 引言

模表示论中块论是其核心部分,而亏群在块论中起到关键的作用.它是联系群论性质和表示论性质最重要的对象.因而,下列问题一直是模表示论研究的核心问题.

一个p-子群D何时是有限群G的p-块的亏群?如果D是亏群,用群论性质来计算以D为亏群的p-块的个数.

这个问题在有限群表示论中具有重要意义,Brauer在文献[1]中将它列为问题19,而在文献[2]中被Feit列为问题5.

特别地,对D=1,以D为亏群的p-块被称为亏零p-块.关于这一问题现在已有许多结论见文献[3–8],在这里我们给出了一类存在极大子群是幂零群的有限群有亏零p-块的充要条件.

本文讨论的群均为有限群,如无特别说明所使用的符号和术语均符合标准.

2 引理

定义2.1[9]有限群G的一个子群H称为半正规的,若对任意的子群K≤G,只要(|K|,|H|)=1,就有KH=HK.

由定义下面的引理是显然的.

引理2.2设G为有限群,H为G的半正规的子群.

(1)若H≤K≤G,则H为K的半正规的子群.

(2)设N◁G,若(|N|,|H|)=1,则HN/N为G/N的半正规的子群.

引理2.3[10]假设有限群G有一个极大幂零子群,且Sylow 2子群是交换的,则群G是可解的.

引理2.4[11]假设G是有限可解群,P是G的Sylowp-子群且是交换的,Op′(G)是幂零的,其中p是整除群G阶的素数.则下列条件是等价的:

(1)G有亏零p-块.

(3)Op(G)=1.

引理2.5[12]设N是可解群G的一个正规子群,且N的阶与p互素,其中p是一个素数.令K1,K2,···,Kr是G的亏零类,并且它们都包含在N中.则G至少有r个亏零特征标.

引理2.6设G是有限群,G=PN,其中P是G的Sylow 2-子群,N是初等交换q-群,q/=2,N◁G.若G的2阶群均是半正规的子群,则G有……