分类例谈随机事件概率的求解策略

张苹梅

对于随机事件的概率求解应掌握一定的策略，只有这样才能顺利求解.下面举例说明，希望对同学们能够有所启发.

一、求等可能事件概率时，要注意如何确定基本事件

对基本事件的不同假设，就得到不同的解法，只要所假设的基本事件是等可能的.

例1 （2017年山东卷）从分别标有1，2，3，…，9的9张卡片中，不放回地随机抽取2次，每次抽出一张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）.

A.■ B.■ C.■ D.■

解析：9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张的所有方法有C29=■=36（种）。数字1～9中，奇数有5个，偶数有4个，奇偶性不同，即从奇数中抽1个，从偶数中抽1个，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的情况有5×4=20（种），故所求事件的概率为■=■。

点评：对于这种不放回的试验中，抽取几次可以看成一次抽取几个。如在n个球中，不放回地随机抽取m个球，可以看成一次性抽取m个球，则共有Cmn种取法。

二、求互斥事件中有一个发生的概率时，要注意把事件分拆

运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，并且要做到不重不漏.

例2 某射手在一次射击中命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，命中不够8环的概率为0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.

解析：这个射手在一次射击中，命中10环或9环为A，命中10环、命中9环、命中8环、不够8环分别设为A1、A2、A3、A4，而A2、A3、A4彼此互斥，所以P（A2+A3+A4）=P（A2）+P（A3）+P（A4）=0.28+0.19+0.29=0.76.∵A1=A2+A3+A4，P（A1）=1？摇-？摇P（A2？摇+？摇A3？摇+？摇A4）？摇=？摇0.24，又A1与A2互斥，且A？摇=？摇A1？摇+？摇A2，∴P（A）？摇=？摇P（A1？摇+？摇A2）？摇=？摇P（A1）？摇+？摇P（？摇A2）？摇=？摇0.24？摇+？摇0.28？摇=？摇0.52，即这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率为0.52.

三、求相互独立事件同时发生的概率时，要注意将事件分步和转化

某事件是由几个相互独立基本事件同时发生形成时，一定要搞清楚这几个相互独立事件，也就是搞清楚某事件分几步完成.同时，注意如果A与B相互独立，那么■与B、A与■、■与■也相互独立.？搖

四、求独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率时，要注意事件是有序还是无序

例4 某射手射击一次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，求：（1）偶次射击中，奇次不击中的概率；（2）恰有两次击中的概率.

解析：（1）中的两次击中是有序其唯一的，（2）中的两次击中是无序的.设“某射手射击一次，击中目标”为事件A，则“某射手射击一次，击不中目标”为事件为■，偶次射击中，奇次不击中的概率为；恰有两次击中的概率为.

五、直接计算符合条件的事件的个数较繁时，可先间接计算其对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率

例5 有4位同学每人买一张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末尾数字相同的概率.

解析：题中“至少有两位同学彩票号码的末尾数字相同”包含多个互斥事件，而它的对立事件较简单，故可先计算它的对立事件的概率.设“至少有两位同学彩票号码的末尾数字相同”为事件A，则■表示“4为同学的彩票号码末位数字各不相同”，每位同学所买彩票的末位数字均有0，1，2，…，9十种可能，故基本事件总数为104个，要末位数字各不相同，则第一位同学彩票的末位数字有10种情况，第二位同学彩票的末位数字有9种情况，第三位同学彩票的末位数字有8种情况，第四位同学彩票的末位数字仅有7种情况，所以P（■）=■=■，因此至少有两位同学彩票号码的末位数字相同的概率为1-P（■）=■.（作者单位：山东省肥城市泰西中学）