谐波齿轮的侧隙规律研究与有限元模型仿真

杨朋朋　陈晓霞　邢静忠　姚云鹏

1.天津工业大学机械工程学院，天津，3003872.天津市现代机电装备技术重点实验室，天津，300387

0　引言

谐波齿轮传动技术是在20世纪50年代末发展起来的一种新型机械传动技术。谐波齿轮具有运动精度高、质量和体积小、传动比大、参与啮合齿数多和传动效率高等独特优点，广泛应用于机器人、航空航天、光学仪器等领域[1]。在设计时保证齿间合理的侧隙是保持谐波齿轮这些优越性能的前提，侧隙不足，就会在过载时导致干涉。因此如何获得齿间合理的侧隙，保证轮齿不发生干涉，是一个很重要的课题[2-4]。

伊万诺夫[2]对齿廓干涉条件以及侧隙理论计算方法进行了研究。沈允文等[3]对谐波齿轮传动的啮合干涉问题以及侧隙计算问题建立了理论方法。辛洪兵等[5]建立了初始啮合侧隙计算的数学模型，研究了谐波齿轮初始啮合侧隙的变化规律。殷燕[6]进行了零侧隙渐开线谐波齿轮传动的参数优化设计及有限元分析，以零侧隙为目标函数，完成了啮合参数的优化。CHEN等[7-8]提出了双圆弧公切线齿廓谐波齿轮的侧隙计算方法，并依据齿间侧隙进行了干涉检查。刘邓辉等[9]考虑柔轮筒体锥度变形进行了空间齿廓设计，并求解了空间齿廓的侧隙分布。以上的研究虽有涉及侧隙计算，但并未考虑柔轮齿根定位方式与柔轮中性层的位移情况对周向侧隙(下文涉及周向侧隙以柔轮齿顶点为计算点)的影响。

关于谐波齿轮仿真模型，国内外已有多人进行过相关研究。董惠敏等[10]建立了谐波齿轮传动中柔轮在空载和负载时板壳的有限元分析模型。刘文芝等[11]以杯形柔轮为例，建立了柔轮啮合的仿真实体模型，用三维弹性接触有限元法计算和分析了承载柔轮齿圈和筒体的应力大小及分布规律。OSTAPSKI等[12]提出了一种复杂形状薄壁壳结构的弹性变形问题的几何非线性壳理论求解方法，并通过有限元方法进行了计算。付军锋等[13]建立了柔轮的三维实体有限元分析模型，并对柔轮模型和波发生器模型在接触条件下进行了有限元分析。以上涉及的柔轮齿圈模型多为当量厚度的壳单元模型。

本文在文献[2-3]谐波齿轮柔轮齿根定位方式与侧隙计算方法基础上，建立了四滚轮波发生器作用下能够准确表达齿廓信息的平面齿圈有限元模型，并将上述理论计算侧隙结果与有限元模型计算结果进行比对，分析两者之间的偏差。通过改进柔轮齿根定位方式和建立坐标变换下的齿廓方程，提出基于周向位移定位的侧隙计算方法与基于弧长定位的侧隙计算方法。同时为揭示侧隙偏差的来源，获取了有限元模型中性层的径向位移、周向位移和法线转角，并求解了周向位置极角来与理论公式计算结果进行比较。

1　问题的引出

1.1　现有文献侧隙算法的分析

柔轮齿廓与刚轮齿廓的侧隙分布情况是齿轮啮合性能评价的重要指标。在理论方法中，柔轮齿根的定位方式和柔轮中性层的径向位移、周向位移，以及齿对称轴线相对于矢径的转角(以下简称法线转角)是影响侧隙结果的重要因素。目前主要有两种侧隙计算方法。

(1)文献[2]计算的侧隙为在波发生器旋转状态下，初始状态位于柔轮变形短轴处的一对柔轮齿廓与刚轮齿廓在不同时刻下的周向侧隙。周向侧隙jag定义为

jag=|vag|-(sag+syb)/2

(1)

式中，sag、syb分别为柔轮齿顶圆处齿厚与对应刚轮处齿厚；vag为柔轮齿对称线和齿顶圆交点与此点到刚轮齿对称线交点的距离。

(2)文献[3]计算的侧隙为与柔轮变形长轴不同夹角的任意啮合位置柔轮齿顶与刚轮齿廓间的周向侧隙。该算法以变形前的柔轮弧长等于变形后的柔轮弧长为齿根定位方式，建立了柔轮与刚轮的齿廓参数方程，最后将柔轮齿顶到刚轮齿廓间的最短距离作为齿廓间的周向侧隙。

为验证理论方法的有效性,本文建立准确表达渐开线齿廓的平面齿圈有限元模型，对以上两种理论侧隙算法的结果进行仿真验证。

1.2　有限元实体模型的建立

考虑到结构的对称性，基于以上参数建立含齿圈的1/4有限元模型，柔轮、刚轮和波发生器均选用Plane183单元。在建立柔轮的齿廓时，利用二分法求解从柔轮齿顶到齿根6个均布的齿廓参数u，基于齿廓方程得到6个不同的关键点坐标，将其连线表达为柔轮齿廓。刚轮齿廓建模过程与此相同。然后定义波发生器外表面与柔轮内壁的接触关系，接触对间选用刚体-柔体的面-面接触单元，以波发生器的上半圆为目标面，定义Targe169目标单元；以柔轮的内壁为柔性接触面，定义Conta172接触单元。在柔轮变形长轴区和短轴区施加对称位移边界条件，选用大变形求解选项。图1为经过后处理得到的柔轮齿圈径向位移UX。

图1　有限元模型径向位移分布Fig.1　Radial displacement distribution of finite element model

在有限元模型中求解柔轮齿顶侧隙，首先需获取柔轮齿顶的节点坐标，继而寻找与该点极径相等的刚轮齿廓上的节点；判断柔轮和刚轮齿顶点是否位于啮合区间内，即设柔轮齿顶节点坐标A(xa1,ya1)，刚轮齿顶节点坐标B(xa2,ya2)，若判断满足

则齿轮顶点处于啮合区间内(图2)，柔轮和刚轮齿顶点间的距离即为齿廓的侧隙。

图2　柔轮与刚轮啮合状态图Fig.2　Engagement diagram of flexspline and circular spline

1.3　有限元模型结果验证

图3的纵坐标表示柔轮与刚轮齿廓间的周向侧隙jt，横坐标表示柔轮齿圈部各啮合齿的位置角度φ。在φ∈(-10°，30°)区间内，文献[2]和文献[3]两种算法结果与有限元模型计算结果差距较小；而在φ∈(30°，60°)区间内,三者计算结果差距都较大，其中文献[2]结果与有限元模型计算结果偏差最大。产生偏差的原因分析如下。

图3　理论计算方法与有限元模型计算方法得到的周向侧隙对比Fig.3　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

(1)文献[2]算法计算侧隙结果与有限元模型计算结果偏差相对较大，主要是定位柔轮齿根和侧隙计算位置出现偏差。求解柔轮齿顶点的周向坐标vag：

vag=v+(rag-r)θ-(rag+w)φb-vb

(2)

式中，v、w分别为柔轮齿根运动的周向位移和径向位移；rag、r分别为柔轮齿顶圆半径与分度圆半径；θ为轮齿转动引起的法线转角；φb为柔轮与刚轮相对转过的角度；vb为变形后刚轮的周向位移(忽略不计)。

柔轮齿顶圆变形后径向坐标：

wag=(rag+w)cosφb-r-wb

(3)

式中，wb为变形后刚轮的径向位移(忽略不计)。

式(3)求解径向坐标wag时，未考虑法线转角引起的轮齿转动；同时式(1)中计算的并不是真正的柔轮齿顶点，而是柔轮齿对称线与齿顶圆的交点，这些简化也会造成侧隙偏差。

(2)如图4所示，在柔轮齿和刚轮齿的横剖面内，设柔轮齿坐标系Sf{of,xf,yf}原点位于柔轮中性层上，yf与柔轮齿对称线重合，柔轮变形长轴与yb轴重合。设中性层半径为rm，原始曲线矢径为ρ，轴yb与柔轮输出端矢径obo1的夹角为φ，与柔轮变形端矢径obof的夹角为φ1[3]，当波发生器从yb轴顺时针旋转时，φ值为正。

图4　柔轮与刚轮齿廓侧隙图Fig.4　Backlash diagram of the flexspline tooth profile and the circular spline tooth profile

文献[3]算法与有限元模型计算结果出现偏差的原因是在进行柔轮齿根的定位时，考虑到求解积分公式的复杂性，将弧长公式[14]近似取

φ1=φ+v/rm

(4)

2　齿根定位方式与侧隙算法的改进

2.1　基于周向位移定位的侧隙算法

针对文献[2]中柔轮齿根的定位方式，将周向位移简化为切向位移，即用o3of代替o2of，利用变形端柔轮齿根转过角度来定位(见图5中Δowo3of)。这种方式定位虽也有近似，但是θv足够小，此种定位方式的侧隙偏差要小于文献[2]计算的侧隙偏差。同时利用坐标变换方法建立柔轮与刚轮的齿廓方程，求解柔轮齿顶的侧隙。利用此种定位方式的侧隙计算方法称为基于周向位移定位的侧隙算法(简称位移法)。

图5为轮齿对称线初始位置与柔轮变形长轴相差π/2个相位的柔轮齿F与刚轮齿B啮合示意图。设刚轮坐标系Sb{ob,xb,yb}固定，柔轮变形端坐标系为Sf{of,xf,yf}，波发生器坐标系为Sw{ow,xw,yw}。定义输出端矢径obo2与柔轮变形长轴yw的夹角φ为自变量，与刚轮坐标系xb的夹角为φg；定义柔轮变形端矢径obof与柔轮变形长轴yw的夹角为φ1，柔轮变形端矢径obof与输出端矢径obo2的夹角为θv(定义为周向位置极角)。柔轮变形长轴yw与yb轴的夹角为φw，柔轮齿廓对称线yf与刚轮坐标轴xb的夹角为ψ；刚轮齿顶圆和齿根圆半径分别是rab和rfb。当波发生器从yb轴顺时针旋转时，φ值为正。

图5　谐波齿轮传动的几何关系Fig.5　Geometrical relationship of harmonic drive

谐波齿轮运动转换关系如下：波发生器从初始位置转动到任意角φw，柔轮输出端相对刚轮转过角度φg，柔轮齿根产生径向位移w和周向位移v时，柔轮变形端齿根由o1运动到of，柔轮齿对称线相对于齿根矢径转过角度μ。当φ=0°时，柔轮变形长轴yw与轴yf重合，柔轮齿与刚轮齿处于完全啮入状态。当φ=90°时，轴xw、柔轮齿对称线yf与刚轮齿对称线xb重合，柔轮齿与刚轮齿处于齿顶对齿顶的完全脱开状态，且有

(5)

φ1=φg-θv

(6)

ψ=θv-φg+μ

(7)

θv=arcsin[v/(w+rm)]

(8)

ρ=rm+w

(9)

(1)确定柔轮齿廓方程。先给出在坐标系Sw{ow,xw,yw}中位于柔轮变形长轴的渐开线柔轮右齿廓的参数方程[3]：

(10)

式中，ua1为渐开线柔轮齿顶参数值；θ1为柔轮齿分度圆齿厚所对中心角之半；α0为基准齿形角；r1为柔轮分度圆半径。

通过坐标变换得到在坐标系Sb{ob,xb,yb}下的柔轮齿廓方程：

(11)

基于上述柔轮齿廓方程得到柔轮齿顶坐标为M1(xa1,ya1)。

(2)确定刚轮齿廓方程。给出在坐标系Sw{ow,xw,yw}中位于柔轮变形长轴的渐开线刚轮齿槽右齿廓的参数方程[3]：

(12)

式中，uM2为渐开线刚轮齿廓上对应点处的参数值；θ2为刚轮齿分度圆齿厚所对中心角的1/2；r2为刚轮分度圆半径。

通过坐标变换得到坐标系Sb{ob,xb,yb}下的刚轮齿廓方程：

(13)

φ2=π/2-π/zb

(14)

式中，φ2为齿槽对称线位于yb轴的刚轮左齿廓旋转到齿对称线位于xb轴所运动过的角度。

基于上述刚轮齿廓方程可得到与柔轮齿顶点极径相等的点M2(xM2,yM2)。

(3)四滚轮波发生器作用下柔轮中性层的径向位移[2]为

(15)

C=sinβ+(π/2-β)cosβ

D=cosβ+βsinβ

式中，β为四滚轮波发生器与变形长轴的夹角。

假定中线不伸长，得到周向位移：

(16)

法线转角：

(17)

(4)由图5可见，周向侧隙jt定义为点M1与M2之间的周向距离，即

(18)

2.2　基于弧长定位的侧隙算法

文献[3]对基于弧度定位的侧隙算法有全面计算说明，由图4可见，基于弧Aof等于圆弧Bo1，有

(19)

法线转角

(20)

但文献[3]对以上公式进行了近似计算(见式(4))，而本文通过数值求解方法来逼近准确的φ1[14]，即将这种定位柔轮齿根的侧隙算法称为基于弧长定位的侧隙算法(以下简称弧长法)。

(1)柔轮齿廓方程[15]为

xa1=r1{sin[ψ-(ua1-θ1)]+ua1cosα0·

cos[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρsinφ1-rmsinψ

(21)

ya1=r1{cos[ψ-(ua1-θ1)]-ua1cosα0·

sin[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρcosφ1-rmcosψ

(22)

ψ=φ1+μ

(2)刚轮齿廓方程[15]为

xM2=r2{sin[φ2-(uM2-θ2)]+uM2·
cosα0cos[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(23)

yM2=r2{cos[φ2-(uM2-θ2)]-uM2·
cosα0sin[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(24)

(3)四滚轮波发生器作用下柔轮中性层的径向位移和法线转角由式(15)、式(17)确定。

(4)由图4可见，周向侧隙jt定义为点M1与点M2之间的周向距离，即

(25)

2.3　有限元模型结果验证

本文给出了两个从不同角度计算侧隙的改进方法，下面借助有限元模型对改进后的算法进行验证。

图6为1.2节案例参数下，四种不同的理论侧隙算法与有限元模型结果得到的周向侧隙比较图。图6显示，位移法为改进文献[2]的侧隙计算方法，位移法更加吻合有限元模型计算结果；弧长法为改进文献[3]中的侧隙计算方法，可以看到弧长法也更加吻合有限元模型计算结果；其中弧长法侧隙曲线最优。

图6　有限元模型验证结果Fig.6　The validation results of finite element model

3　柔轮齿根定位方式对周向侧隙的影响

3.1　理论算法与有限元模型的周向侧隙比较

图7为啮合区间内不同啮合位置的周向侧隙图。图7显示：在φ=0°长轴区附近，有限元模型计算结果与两种理论算法计算结果一致。弧长法与有限元模型结果比较：在φ∈(-10°，0°)区间，弧长法结果偏大，在φ∈(0°，12°)区间，弧长法结果偏小；当φ≥12°时，弧长法结果偏大；且φ=37°时偏差最大，为0.72 μm；在φ=56°左右侧隙值相等。位移法与有限元模型计算结果比较如下：在φ∈(-10°，0°)区间，位移法结果偏大；在φ∈(0°，13°)区间，弧长法结果偏小；在φ∈(13°，26°)区间，位移法偏大；在φ≥26°时，位移法结果偏小；且在φ=55°左右偏差最大，为3.16 μm。

图7　理论算法与有限元模型的周向侧隙对比图Fig.7　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

3.2　柔轮中性层变形与柔轮齿根定位方式比较

文中侧隙的两种理论算法都是基于小变形假定和柔轮中性层不伸长假定。但是研究显示，不同的波发生器作用下，柔轮中性层会有不同程度的伸长[16]，因此这必然会引起理论算法与有限元模型仿真结果的差异。柔轮中性层的变形和柔轮齿根定位方式是影响侧隙大小的主要因素。图8为理论算法的柔轮中性层的径向位移、周向位移和法线转角与有限元模型计算结果的差值s。

图8　柔轮齿根变形位置偏差Fig.8　Deviation of deformation position of the flexspline tooth root

图8显示：在φ∈(0°，49°)区间，理论算法径向位移偏小；在φ∈(49°，90°)区间，径向位移偏大；并在φ=90°偏差达到最大。理论算法的周向位移结果偏大，在φ=59°左右偏差最大为3.1 μm。在φ∈(0°，28°)区间，理论算法的法线转角偏大；在φ∈(28°，90°)区间，法线转角偏小。理论算法在求解径向位移时， 以小变形假定为前提，但本算例中的径向位移量偏大，最终也导致周向位移与法线转角出现偏差。

柔轮齿根周向位置极角定义为θv=φ1-φ，周向位置极角偏差s1为两种理论算法与有限元模型计算的周向位置极角的差，它主要反映柔轮齿根定位方式的不同。图9显示：与有限元模型相比，弧长法的周向位置极角在φ∈(0°，50°)时偏大，且在φ=37°时偏差最大，为3.28×10-5rad；在φ∈(50°，90°)时，周向位置极角偏小。位移法的周向位置极角一直偏大，在φ=59°左右偏差最大，为2.24×10-4rad。

图9　柔轮齿根定位方式偏差Fig.9　Deviation of location methods of the flexspline tooth root

3.3　弧长法周向侧隙分析

弧长法与有限元模型的比较如图7与图9所示，在φ∈(0°，12°)时，弧长法侧隙结果偏小，是因为周向位置极角偏大，柔轮齿根定位偏右；在φ≥12°时，弧长法侧隙结果偏大，是因为弧长法的周向位置极角渐渐地出现偏大趋势，即柔轮齿根定位渐渐偏左，且法线转角偏小。图9中φ=37°周向位置极角偏差最大为3.28×10-5rad，图7中φ=37°时，周向侧隙偏差最大为0.72 μm，由于弧长法计算过程未用到周向位移，故用周向位置极角来解释周向侧隙偏差。

3.4　位移法周向侧隙分析

位移法与有限元模型的比较如下：在φ∈(0°，16°)时，由于周向位移偏差和法线转角偏差都比较小，故其两个因素都有所抵消，在这区间内位移法侧隙结果与有限元模型结果虽有偏差，但比较接近。在φ≥16°时，位移法侧隙结果偏小，这是因为理论计算方法的周向位移比有限元模型计算结果偏大，同时周向位置极角偏大，导致柔轮齿根定位偏右。图9中，在φ=59°左右周向位置极角偏差最大为2.24×10-4rad；图8中，在φ=59°左右周向位移偏差最大，为3.1 μm；图7中，在φ=55°左右周向侧隙偏差最大，为3.16 μm。由此可见位移法中周向位移与周向位置极角偏差可同步解释周向侧隙偏差规律。

综上所述，侧隙出现偏差的根本原因仍是未给出准确的柔轮中性层变形位置，即未严格遵守小变形假定，导致径向位移、周向位移和法线转角偏差，这会对不同的柔轮齿根定位方式产生影响，进而影响周向侧隙。虽然理论算法与有限元模型侧隙存在偏差，但是在实际谐波齿轮加工生产过程中，以上偏差仅为5级加工精度齿廓总偏差的1/10[17]。

4　结论

(1)基于小变形假定的理论，获取了有限元模型柔轮中性层的径向位移、周向位移和法线转角，并求解了周向位置极角。与理论计算结果比较发现，理论侧隙与有限元模型计算的侧隙结果的差异主要是由周向位移引起的。

(2)与有限元模型计算结果相比，在柔轮与刚轮将脱离啮合区域，基于弧长定位的侧隙算法计算结果偏大，基于周向位移定位的侧隙算法计算结果偏小。相对来说，基于弧长定位的侧隙算法定位更加准确。因此选择合理的柔轮齿根定位方式可以提高侧隙计算准确性。

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(编辑王艳丽)