传送带上物体的运动与能量问题

■重庆市潼南第二中学　

传送带是一种很重要的物理模型,以其为素材的物理问题是高中物理习题中较为常见的一类问题。此类问题涉及的知识点较多,包括受力分析、运动分析、牛顿运动定律、功能关系等,因此此类问题大都具有情景模糊、条件隐蔽、过程复杂的特点。物体在传送带上放置的条件不同,物体的受力情况不同,将导致物体的运动情况也不同。不管传送带如何运动,我们只要分析清楚物体所受摩擦力的大小、方向及其变化情况,就能准确分析物体的运动过程及状态变化。下面我们就从实例分析出发并加以拓展,相信对同学们求解此类问题必会有所启发和帮助。

题目如图1所示,水平传送带以恒定速度v=5m/s沿顺时针方向运动,传送带两端A、B间的距离L=7.5m,现在其左端A轻轻地放上一工件,已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s2。求工件由传送带左端A运动到右端B所需的时间。

图1

分析:工件被轻轻放在传送带左端A时,工件相对地面的初速度v0=0,传送带相对地面以恒定速度v=5m/s向右匀速运动,所以工件相对传送带向左运动,工件受到水平向右的滑动摩擦力f=μN=μmg作用。根据牛顿第二定律可得,工件的加速度a=因此工件相对地面向右做初速度为零的匀加速直线运动,其速度达到与传送带速度相等所经过的时间1s,工件在匀加速运动过程中相对地面发生的位移因为x1=2.5m＜L,所以当工件速度等于传送带速度时,工件受到的滑动摩擦力消失,工件与传送带保持相对静止并一起向右以速度v=5m/s匀速运动,以后工件运动到传送带B端所用的时间因此工件从传送带左端A运动到右端B的时间t=t1+t2=2s。

拓展一:若只将传送带A、B间的距离改为L=2.5m,其他条件不变,则工件从传送带左端A运动到右端B的时间为多少?

分析:此条件下工件必一直做匀加速直线运动,由解得t=1s。

拓展二:若工件以对地速度v0=5m/s从传送带A端滑上传送带,其他条件不变,则工件从传送带左端A运动到右端B的时间为多少?

分析:工件以对地速度v0=5m/s滑上传送带A端时,其与传送带相对静止,因此工件与传送带间无摩擦力,工件做匀速直线运动,工件从传送带左端A运动到右端B的时间

拓展三:若工件以对地速度v0=7m/s从传送带A端滑上传送带,其他条件不变,则工件从传送带左端A运动到右端B的时间为多少?

分析:因为工件滑上传送带A端时的速度大于传送带的速度,即工件相对传送带向右运动,所以工件必受到传送带对它水平向左的滑动摩擦力作用,如图2所示,工件相对于地面必向右做匀减速直线运动。当工件速度等于传送带速度时,二者之间的滑动摩擦力消失,工件随传送带一起匀速运动。工件做匀减速直线运动的时间0.4s,工件做匀减速直线运动相对地面发生的位移,工件做匀速直线运动所经过的时间因此工件从传送带左端A运动到右端B的时间t=t1+t2=1.42s。

图2

拓展四:若工件以对地速度v0=3m/s从传送带A端滑上传送带,其他条件不变,则工件从传送带左端A运动到右端B的时间为多少?

分析:因为工件滑上传送带A端时的速度小于传送带的速度,即工件相对传送带向左运动,所以工件必受到传送带对它水平向右的滑动摩擦力作用而相对于地面向右做匀加速直线运动。工件加速到与传送带速度相同所经过的时间发生的位移之后工件与传送带一起做匀速直线运动所用的时间因此工件从传送带左端A运动到右端B的时间t=t1+t2=1.58s。

拓展五:若将原题目数据改为传送带两端A、B间的距离L=10m,传送带以恒定速度v=2m/s运动,现将一小物体无初速度地放在传送带左端A处,则经过6s小物体运动到传送带B端。若要求小物体用最短的时间运动到B端,求传送带的最小速度。

分析:小物体放在传送带A端时必受到传送带对它水平向右的滑动摩擦力作用而相对于地面向右做匀加速直线运动,小物体一般会经历先加速后匀速的过程,当小物体达到与传送带具有共同速度时,二者间的摩擦力为零,之后两者相对静止,小物体匀速向B端运动。若传送带速度较大或传送带长度较短,则小物体可能只会出现一直向右做匀加速直线运动的情况。设小物体由静止经过时间t1的匀加速直线运动(设加速度为a)即与传送带达到共同速度,则之后小物体匀速运动到B端的时间为6st1,则10m,解得小物体的加速度a=1m/s2。若要求小物体运动的时间最短,则要求小物体一直做加速运动,即要求小物体与传送带一直存在相对运动,故传送带的最小速度就是小物体持续加速运动到达B端的速度vB。由v2B=2aL解得vB=25m/s,即传送带的最小速度为25m/s。

图3

附:分析此问题若利用小物体的速度—时间图像(如图3所示)围成的几何图形的面积表示传送带的长度则更形象直观,其中t3时间对应着传送带的最小速度。

图4

拓展六:若将原题目改成传送带与水平面间的倾角θ=37°,如图4所示,其他条件不变,那么工件从传送带A端滑到B端的时间为多少?

分析:比较动摩擦因数μ与tanθ的大小关系,因为μ=0.5,tanθ=0.75,所以μ＜tanθ,即μmgcosθ＜mgsinθ。无论传送带沿顺时针还是逆时针方向运动,工件相对于地面一定沿传送带向下滑动。因为传送带沿顺时针方向运动,当工件刚放在A端时工件相对传送带必向上运动,所以工件受到的滑动摩擦力必沿传送带向下,则工件相对于地面的加速度10m/s2,工件相对于地面向下做匀加速直线运动到与传送带速度相等所用的时间0.5s,发生的位移当工件与传送带具有共同速度时,工件受到的合力并不为0而等于mgsinθ,且与此时的速度同向,故工件必继续加速运动使得工件的对地速度大于传送带的对地速度,之后工件必受到沿传送带向上的滑动摩擦力作用。工件的加速度2m/s2,故工件相对于地面向下做匀加速直线运动,其到达B端的位移x2=L-x1=6.25m,此过程所用的时间满足关系式x2=解得s(舍去)。因此工件从传送带A端滑到B端的时间

拓展七:在拓展六中,当传送带以恒定速度v=5m/s沿逆时针方向运动,其他条件不变时,工件从传送带A端滑到B端的时间为多少?

分析:工件相对传送带必向下运动,所以工件所受滑动摩擦力的方向始终沿传送带向上,工件相对于地面一直向下做匀加速运动直至到达传送带B端。工件的加速度a=由L=解得工件从传送带A端滑到B端的时间

拓展八:对传送带上痕迹的讨论——只有工件与传送带存在相对运动,工件才会在传送带上留下因摩擦而产生的痕迹。

“题目”中传送带上的痕迹:由对地位移的几何关系可知,痕迹长度等于传送带对地的位移减去工件对地的位移,即Δx=x2-x1=vt1-x1=2.5m。

“拓展六”中传送带上的痕迹:t1=0.5s时间内,工件相对于地面的位移x1=1.25m,传送带相对于地面的位移x1'=vt1=2.5m,因此工件在传送带上留下的痕迹长度Δx1=x1'-x1=1.25m。此后直到工件到达传送带B端的过程中,工件相对于地面的位移x2=6.25m,传送带相对于地面的位移x2'=vt21=5.13m,因此工件与传送带的相对位移Δx2=x2-x2'=1.12m。因为Δx2＜Δx1,表明在后一段时间中工件相对于传送带还在前一段时间内工件在传送带上留下的痕迹中运动,所以工件最终在传送带上留下的痕迹长度Δx=Δx1=1.25m。

同学们不妨自己试着求解其他拓展问题中的痕迹长度。

拓展九:由工件和传送带组成的系统获得的内能及带动传送带的主动轮对传送带多做的功的问题——系统获得的内能Q=fs相,主动轮对传送带多做的功可由系统能量的变化求出,也可由功的定义求出。

“题目”中:设工件的质量m=1kg,则由工件和传送带组成的系统获得的内能Q=fs相=μmg·Δx=12.5J。在工件从传送带左端A运动到右端B的过程中,传送带主动轮对传送带多做的功一部分转化成了系统的内能Q=12.5J,另一部分转化成了工件的动能,故主动轮对传送带多做的功ΔW=Q+(为了维持传送带的匀速运动主动轮必对传送带多施加的作用力f'=f=μmg=5N,在工件与传送带相对运动的t1=1s时间内,传送带相对于地面的位移x1'=vt1=5m,故主动轮对传送带多做的功ΔW=f'x1'=25J。)

“拓展六”中:设工件的质量m=1kg,则在t1=0.5s时间内由工件和传送带组成的系统获得的内能Q1=f·Δx1=μmgcosθ·Δx1=5J,主动轮要对传送带施加沿传送带向下的力f'=f=4N才能维持传送带做匀速运动,传送带相对于地面的位移x1'=2.5m,故主动轮对传送带多做的功ΔW1=f'x1'=10J。在工件以加速度a2=2m/s2匀加速运动到传送带B端的过程中,系统获得的内能Q2=f·Δx2=μmgcosθ·Δx2=4.48J,为了维持传送带的匀速运动主动轮必对传送带施加的阻力f″=f=4N,传送带相对于地面的位移x2'=5.13m,故主动轮对传送带多做的功ΔW2=-f″x2'=-20.52J。在工件从传送带A端滑到B端的过程中,主动轮对传送带多做的功ΔW=ΔW1+ΔW2=-10.52J。

拓展十:传送带上的碰撞与运动问题。

如图5所示,水平传送带两端A、B间的距离L=8.3m,质量M=1kg的木块随传送带一起以速度v=2m/s沿逆时针方向运动(传送带的传送速度恒定),木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5。当木块运动至传送带左端A点时,一颗质量m=20g的子弹以水平向右的速度v0=300m/s正对木块射入并穿出,子弹穿出木块时的速度v1=50m/s,以后每隔1s就有一颗子弹射向木块。设子弹射穿木块的时间极短,且子弹每次射入木块的点各不相同,取g=10m/s2。求:

图5

(1)木块在被第二颗子弹击中前,向右运动离A点的最大距离是多少?

(2)木块在传达带上最多能被多少颗子弹击中?

(3)在木块被第一颗子弹射中直到木块最终离开传送带的过程中,由子弹、木块和传送带组成的系统产生的热能是多少?电动机消耗的电能是多少?

解析:(1)在第一颗子弹射入并穿出木块的过程中,由子弹与木块组成的系统的动量近似守恒,设第一颗子弹穿出木块后木块的速度为v1',则mv0-Mv=mv1+Mv1',解得v1'=3m/s。之后木块必将受到水平向左的滑动摩擦力作用并以向左的加速度a=μg=5m/s2做匀减速运动,第一颗子弹穿出木块直至木块的对地速度减为0的过程所用时间,所以木块在被第二颗子点最远,最大距离

(2)在第二颗子弹射中木块前1s时间内,木块向左做加速运动的时间t2=1st1=0.4s,木块在被第二颗子弹射中瞬间的对地速度v2=at2=2m/s,方向向左并恰与传送带的速度相同,在t2时间内木块相对于地面向左的位移,因而在弹击中前向右匀减速运动到速度为0时离A第一颗子弹穿出木块后的1s时间内,木块相对于最初位置A的位移大小为s1-s2=0.5m,方向指向B端且木块与传送带恰达到相对静止。对以后各子弹与木块的作用过程可同理分析并得出在两颗子弹射中木块的时间间隔内,每次木块相对于子弹射入时的初位置的位移大小s0=s1-s2=0.5m,方向指向B端,木块与传送带均有相同大小和方向的速度。设木块在传送带上最多被n颗子弹击中,则第n颗子弹击中木块前,木块向右移动的位移s=(n-1)s0,第n颗子弹击中木块后,木块将不能再向右移动0.9m,故木块相对地面的总位移需要满足条件s总=s+0.9m＞8.3m,解得n＞15.8。因此木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。

在第一颗子弹与木块作用后的1s时间内,木块对传送带的摩擦力f=μMg=5N,方向始终向右,为了维持传送带以恒定速度匀速运动,则电动机必须对传送带施加一个大小为5N,方向水平向左的作用力,传送带相对于地面向左的位移x=vt=2m,因而电动机对传送带做的功W0=fx=10J。在第16颗子弹射入木块前,电动机对传送带做的功W=15W0=150J。第16颗子弹击穿木块后,木块将在传送带上向右匀减速运动t3=0.4s到达B端,传送带相对于地面的位移x'=vt3=0.8m,电动机对传送带做的功W0'=fx'=4J。因此在全过程中电动机消耗的电能E=W+W0'=154J。

小结:求解传送带上力学问题的前提是根据两者相对运动的速度关系正确分析物体的受力情况,特别需要引起注意的是明确在运动的过程中物体的运动方向和受到的摩擦力可能会反向。传送带上的能量问题是传送带问题中较复杂的问题之一,求解此类问题的关键是弄清楚物体的动能变化、物体重力势能的变化、电动机做的功,以及摩擦生热间的关系。若传送带和物体保持相对静止则不会出现摩擦生热,若物体和传送带间存在相对滑动则因摩擦而产生的热量Q=fs(s是两者间的相对位移)。

跟踪训练

一传送带装置如图6所示,其中传送带经过AB段时是水平的,经过BC段时变为圆弧形,经过CD段时变成倾斜的,AB和CD段都与圆弧相切。现将大量质量均为m的小货箱一个一个地在A处放到传送带上,小货箱的初速度均为零,经传送带运送到D处,D、A两点的高度差为h。稳定工作时传送带的速度不变,CD段上各小货箱等距排列,相邻两货箱间的距离为L,每个货箱在到达B点之前都已相对传送带静止,且以后也不再相对传送带滑动(忽略小货箱在BC段上的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T内,共运送小货箱的数目为N,这个装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦,求电动机的平均输出功率P。

图6

参考答案: