基于三维压缩感知的MIMO雷达角度估计算法*

文方青　张　弓　王鑫海　张　宇　贲　德

(1．南京航空航天大学电子信息工程学院，南京，211016； 2．长江大学电子信息学院，荆州，434023)

引　　言

与传统相控阵的机制不同，多输入多输出(Multiple-input multiple-output，MIMO)雷达巧妙地利用多根天线发射近似相互正交的波形，在多根接收天线端，分别采用匹配滤波器分离目标信息[1]。多天线的使用使得MIMO雷达系统的自由度增大，因而相较相控阵体制的雷达系统，MIMO雷达系统的探测性能显著提升。理论研究表明，MIMO雷达具有如抑制噪声和干扰、抗衰落效应等诸多方面的优势。此外MIMO雷达还能有效地提高目标的分辨率和参数估计的可辨识度[2]，因而MIMO雷达的研究引起国内外学者的广泛关注[3]。

本文主要探讨双基地MIMO雷达中的联合波离角(Direction-of-departure，DOD)与波达角(Direction-of-arrival，DOA)估计问题[4]，联合角度估计是双基地MIMO雷达中多目标进行测向与定位的任务之一。MIMO雷达中典型的角度估计算法有Capon、多重信号分类(Multiple signal classification，MUSIC)、基于旋转不变技术的估计算法(Estimation method of signal parameters via rotational invariance techniques， ESPRIT)及相关改进算法[5-9]，其主要由传统阵列信号处理的方法演化而来。其中，Capon算法和MUSIC算法主要是通过二维谱峰搜索获得目标参数[5-6]，这类算法的劣势主要在于其计算复杂度非常大。ESPRIT算法主要利用了两个子阵列的旋转不变特性[7]，尽管它可避免谱峰搜索过程，但是其需要额外匹配所估计的角度。上述算法均是将阵列雷达数据堆叠成高维矩阵，然后对高维矩阵进行处理，这些算法均忽略了接收数据内部的多维结构特性。近年来，将张量模型引入阵列多参数估计是MIMO雷达一个研究热点方向[10-12]。通过构建接收信号的张量结构可以利用数据内部隐藏的特性，因此可以提升角度估计精度。张量分解的方法主要有两种[13]：Tucker分解和CP分解，其中Tucker分解又被称为高阶奇异值分解(High-order singular value decomposition，HOSVD)，CP分解是典范分解/平行因子分解(Canonical or parallel factor analysis， CANDECOMP/PARAFAC)的简称。HOSVD将三维数据向3个不同的方向分别展开，然后分别对得到的矩阵进行子空间分解，这种子空间方法获得的相关子空间比直接对某个方向展开的矩阵数据进行子空间分解更精确，从而角度估计精度比ESPRIT更为精确[14-15]。PARAFAC算法采用迭代的方法进行张量分解[16-18]，相比HOSVD算法，其不需要计算复杂度较高奇异值分解过程，且参数估计的精度更高。然而PARAFAC算法在低信噪比条件下精度较低，且在大规模MIMO或者超大规模MIMO系统[19]时计算量较大，数据的存储和计算将占用更多的资源，这对雷达系统是非常大的挑战。近年来，将压缩感知理论应用于雷达信号处理是雷达系统发展的一个趋势[20-22]，目标参数的稀疏特性为获取相关参数的估计开辟了一种新的道路。受启发于多维压缩感知的概念[23]，文献[24,25]提出基于压缩的平行因子分解算法，大大降低了三线性分解的计算复杂度。但上述算法均利用随机降维观测矩阵对高维张量进行降维处理，角度估计时采用匹配过完备字典的方法进行。上述算法的压缩矩阵产生较为复杂，且过完备字典的匹配过程类似于MUSIC算法的二维谱峰搜索，计算复杂度较大。

针对现有MIMO雷达角度估计方法存在计算精度与计算复杂度难以折衷的问题，本文提出一种三维压缩感知(Three-way compressive sensing, TWCS)算法。本文的压缩矩阵采用HOSVD获取，其能最大程度地压缩高维张量数据，且保证低信噪比下参数估计的精度。二维角度估计问题与压缩后的张量模型相联系，通过三线性交替最小二乘(Trilinear alternate least squares，TALS)获取压缩后的方向矩阵的估计。最后构造两个独立的过完备字典，利用目标的稀疏性重构目标二维角度。所提TWCS算法在计算复杂度方面略高于文献[14]所提的HOSVD方法，但低于文献[16]所提的PARAFAC算法。本文算法TALS过程数据量远低于PARAFAC算法，且本文算法能自动配对所估计的二维角度。TWCS在估计精度方面要高于ESPRIT和HOSVD，在高信噪比条件下与PARAFAC非常接近，在低信噪比条件下优于PARAFAC。本文算法可以通过进一步处理获得目标多普勒信息，因而所提的算法是一种高效的算法。

1　张量基础与信号模型

1.1　张量基础

首先引入文献[13]中关于张量操作的3个定义：

定义3(张量模乘性质)：N阶张量X∈CI1 ×…IN的模乘性质主要有如下两条

X×n·A×m·B=X×m·B×n·Am≠n

X×n·A×m·B=X×n·(B·A)

(1)

(2)

图1　双基地MIMO雷达角度估计模型　　Fig.1　Angle estimation model for bistatic MIMO radar

1.2　信号模型

(3)

x(t)= [ar(θ1)⊗at(φ1),…,ar(θK)⊗at(φK)]s(t)

(4)

X= [ar(θ1)⊗at(θ1),…,ar(θK)⊗at(φK)]ST=[AR⊙AT]ST=AST

(5)

式中：A=[AR⊙AT]=[a(θ1,φ1),…,a(θK,φK)]可以被视为维数为MN×K的虚拟方向矩阵，其中⊙为Khatri-Rao积(按列克罗内克积)，a(θk,φk)=ar(θk)⊗at(φk)可被视为虚拟的导向矢量。利用Tucker张量模型，式(5)可以重新表述成一个阶数为3、秩为K的张量

(6)

式(6)即为三线性模型的张量表示形式，此外，张量模型也可以表示成矢量的形式

vec(X)=(S⊙AR⊙AT)

(7)

(8)

类似地，沿着接收方向切片数据可得

(9)

一般也将式(5,8,9)称为三线性分解的矩阵表示形式,其与式(6)中的张量形式和式(7)中的矢量形式是等价的。通过对X进行PARAFAC可以分别估计出发射导向矢量和接收导向矢量[16]，再通过自动配对的方法即可获得相关角度的估计。PARAFAC算法的缺点是在低信噪比时估计精度低，且当数据量非常大时PARAFAC算法的计算复杂度急剧上升。为降低数据存储的压力，同时降低PARAFAC的计算复杂度，本文利用三维压缩感知的方法压缩张量数据，并提升PARAFAC 在低信噪比条件下的估计精度。

2　本文算法

2.1　基于HOSVD的张量压缩

对式(6)中的3阶张量X进行HOSVD可以表述为如下形式[13]

X=Y×1·U×2·V×3·W

(10)

式中：Y∈CM×N×L为核张量，U∈CM×M，V∈CN×N，W∈CL×L分别为3个酉矩阵，其分别为X的模i(i=1,2,3)展开的左奇异分解矩阵组成。类似于MUSIC算法中的SVD，由于X是K秩的，因此高维张量X可由其主成分量X′∈CK×K×K表示

(11)

图2　三阶张量压缩示意图　　Fig.2　Schematic illustration of three-order tensor compression

式中：Us∈CM×K,Vs∈CN×K和Ws∈CL×K分别为U,V和W中的前K特征矢量构成的矩阵。将式(11)中的张量表示成矢量形式可得[23]

vec(X′) = (WH⊗VH⊗UH)vec(X) = (WH⊗VH⊗UH)(S⊙AR⊙AT)=

(12)

结合定义2与定义3，可得对应式(5)中压缩后沿快拍方向的切片矩阵表示为

(13)

由于三线性模型的张量形式和矩阵形式是等价的，因此可由式(13)中的矩阵形式重新构造压缩后的张量。此时对应于式(8)中压缩后沿发射方向的切片数据矩阵为

(14)

类似地，对应于式(9)的压缩后沿接收方向切片数据为

(15)

2.2　压缩的方向矩阵估计

(16)

(17)

(18)

(19)

2.3　基于稀疏表示的联合DOD与DOA估计

(20)

(21)

(22)

注意到S与AT与AR具有类似的性质，因此采用类似的方法可以获得目标的多普勒信息，本文不再赘述。现将本文所提算法的具体步骤归纳如下:

(1) 把接收数据按式(6)堆叠成一个三阶张量；

(2) 利用式(10)对张量进行HOSVD，按照式(12)对原始张量进行压缩处理；

(4) 按照式(20)构造过完备字典，最后按照式(22)估计DOD与DOA。

3　算法分析

3.1　复杂度分析

3.2　克拉美罗界分析

根据文献[27]，双基地MIMO雷达中联合DOD与DOA估计的克拉美罗界(Cramér-Rao bound，CRB)为

(23)

3.3　算法优势分析

相比ESPRIT[8]、HOSVD[14]与PARAFAC[16]算法，本文所提算法的优势主要有：

(1)自动匹配二维角度；

(2)低信噪比下估计精度更高；

(3)可获得目标的多普勒信息；

(4)在大规模阵列或者大快拍条件下计算复杂度更低，所需存储资源更少。

4　仿真结果及分析

图3为所提算法在信噪比为-10 dB时联合DOD与DOA的估计效果。图中黑点表示估计的角度位置，‘×’表示真实的目标位置。可以看出3个目标的DOD和DOA可以清楚地被估计出来，并且被正确配对。

图4与图5分别为本文算法在不同SNR下与其他算法RMSE的对比，对比的算法有ESPRIT算法[8]、HOSVD算法[14]、PARAFAC算法[16]及CRB。由图4和图5可知，如果信噪比提高，所有算法的精度都会提升。由于利用了数据的多维结构，基于张量的算法精度均优于ESPRIT算法，且本文算法性能优于HOSVD算法和ESPRIT算法。由于压缩过程获得的张量子空间具有鲁棒性，因而本文所提算法在低信噪比条件下性能优于PARAFAC算法，特别是阵元数目较少时，这种优势显得尤为明显。当信噪比提升后，所提算法性能仍然很接近PARAFAC算法。图6为所提算法与其他算法在不同L条件下的性能对比。由图6可知，快拍数增加会改善所有算法的估计精度，同样可以看出，本文算法估计精度优于ESPRIT和HOSVD方法，且很接近PARAFAC算法。

图3　SNR=-10 dB所提算法散点图(M=20，N=16，L=64)

Fig.3Scatter results of the proposed algorithm with SNR=-10 dB(M=20，N=16，L=64)

图4不同SNR下RMSE比较(M=N=32，L=64)

Fig.4RMSE comparison versus SNR(M=N=32，L=64)

图5不同SNR下RMSE比较(M=20，N=16，L=64)

Fig.5RMSE comparison versus SNR(M=20，N=16，L=64)

本文算法在不同N的RMSE性能比较分别如图7所示。由图7的结果可知，天线数目增多会改善算法估计精度。这体现了MIMO天线数目增加使其自由度增加，从而提高了其探测精度。所提算法在不同L条件下的RMSE性能如图8所示，从仿真结果可以看出，快拍数的增加也会改善所提算法的估计精度。因为更多的快拍使得张量子空间分解更精确，从而角度估计也更准确。

图6　不同L下各种算法RMSE比较(M=20，N=16，SNR=0 dB)

Fig.6RMSE comparison versusL(M=20，N=16，SNR=0 dB)

图7本文算法在不同N条件下RMSE性能(M=20，L=64，SNR=0 dB)

Fig.7RMSE performances of the proposed algorithm with differentN(M=20，L=64，SNR=0 dB)

图8本文算法在不同L条件下RMSE性能(M=20，N=16，SNR=0 dB)

Fig.8RMSE performances of the proposed algorithm with differentL(M=20，N=16，SNR=0 dB)

5　结束语

为利用接收数据间的多维相关性，提高低信噪比下参数估计的精度，本文提出了一种基于三维压缩感知的双基地MIMO雷达角度估计算法。首先构建接收数据的张量模型，使用HOSVD算法压缩高维张量，再对子张量的PARAFAC分解，最后通过构建过完备字典的方法获得目标角度的估计。本文算法减轻了PARAFAC算法的计算复杂度，并可以获取自动配对的角度估计。在低信噪比场景下的估计精度方面要优于ESPRIT，HOSVD和PARAFAC方法，在信噪比较高时的估计精度非常接近经典的PARAFAC算法。本文算法对数据传输和存储的压力非常小，非常适合大规模或者超大规模阵列信号处理。

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