《鸽巢问题》课堂实录

孟繁荣

【教学内容】

人教版六年级下册第68页。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

师：今天老师给大家带来一个推理游戏，想玩吗？

生：想！

师：一副扑克牌去掉大小王，一共多少张？

生：52张。

师：扑克牌有几种花色呢?

生：四种。

师：现在我就用这52张牌来做一个推理游戏。老师需要5名同学当助手，请上来5名同学。

师：请你们每人任意抽取一张牌，不要让我看到，自己看好牌记在心里，把牌收好了。

（五名学生每人各抽取一张牌）

师：下面就是老师展示自己推理能力的时刻了！我敢肯定在你们这5张牌里，至少有两张是同一花色的，相信吗？

生：不信！

师：好，请亮牌，大声报出你手中牌的花色！

（学生大声报出抽到的牌的花色）

师：同一花色的请站到一起，把牌举起来面向大家，老师猜对了吗？

生：猜对了！

师：如果让这5名同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的！

师：同学们，你们想知道其中的奥秘吗？其实，在刚才的推理游戏中蕴涵着一个非常有趣的数学原理，下面我们就来研究这个数学原理，让我们先从最简单的情况入手。

二、自主探究，感知模型

出示例1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师“：总有”和“至少”这两个词是什么意思？

生“：总有”就是总是有，一定有。

生“：至少”就是最少、最起码。

师：下面就请同学们想办法验证，可以动手摆一摆、画一画或写一写。

（学生验证，展示交流）

生：我们用画图的方法把摆的过程记录了下来，一共有四种情况：第一种情况第一个笔筒中放4支，后两个笔筒中不放；第二种情况第一个笔筒中放3支，第二个笔筒放1支，最后一个笔筒不放；第三种情况前两个笔筒各放2支，第三个笔筒不放；第四种情况第一个笔筒放2支，后两个笔筒各放1支。不管哪种情况，总有一个笔筒中至少有2支铅笔，从而验证了这一结论的正确性。

师：请你把符合要求的笔筒用彩笔圈出来供大家检验。

（学生逐一圈出）

生：我觉得这个结论有问题，（4，0，0）有一个笔筒里有4支铅笔，不是2支。

生：至少是2支，4支不也至少是2支吗？

生：（2，2，1）就不符合刚才的结论，有两个笔筒里都是2支铅笔。

生：“总有一个”的意思就是存在1个即可，可以存在2个或多个。

师：像这样把所有情况都一一列举出来，从而得出结论的方法，在数学中叫“枚举法”。

生：我们组用了分解数字的方法，看起来比画图更清楚，也有四种情况：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），总有一个笔筒中至少有2支铅笔。

师：把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4种情况，每一种情况分得的3个数中，至少有一个数是不小于2的数。

生：我们组是这样做的：先往每个笔筒里放入1支铅笔，这样还剩下1支铅笔，剩下的这1支还要放在笔筒里，但是不管放进哪个笔筒，都会出现1个笔筒中放入2支铅笔的情况。这其实就是先将4支铅笔平均分，余下的1支放入其中任意1个笔筒里。

师：她说的你们明白了吗？

生：就是先平均分，4÷3=1……1，先往每个笔筒里放1支，三个笔筒中共放进3支，还剩1支，这1支无论放进哪个笔筒中，那个笔筒中就至少有2支铅笔。

师：为什么要平均分呢？（板书：平均分）

生：平均分就可以使每个笔筒中的笔尽可能地少一点。题目说总有一个笔筒中至少有2支笔，想办法让每个笔筒中笔的支数尽可能地少，就有可能出现和题目意思不一样的情况。

师：但是这样只能证明总有一个笔筒中肯定会有2支笔，怎么能证明至少有2支呢？

生：平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能地少了，如果这样也符合，那么其他的情况就更符合了。

师：刚才我们用了“平均分”的方法，商1和余数1意义相同吗？

生：不相同。商1表示每个笔筒里放1支，余数1表示还剩1支。

师：到现在为止，我们可以得出什么结论？

生：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。

三、适时引导，构建模型

师：刚刚我们用多种方法验证了这一结论的正确性，在诸多方法中，你觉得哪种方法最简便？

生：用平均分的方法最简便。

师：如果把5支铅笔放进4个笔筒里，会是什么结果呢？能用算式表示吗？

生：不管怎么放，总有1个笔筒中至少有2支铅笔。因为5÷4=1……1，假设先往每个笔筒里放进1支笔，还剩1支，这1支无论放进哪个笔筒，那个笔筒里就至少有2支铅笔了。

师：6支铅笔放进5个笔筒，结果如何？

生：不管怎么放，总有1个笔筒中至少有2支铅笔。因为6÷5=1……1，假设先往每个笔筒里放进1支笔，还剩1支，这1支无论放进哪个笔筒，那个笔筒里就至少有2支铅笔了。

师：你能像老师这样再举些例子吗？

生：把7支铅笔放进6个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔。

生：把10支铅笔放进9个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔。

生：把100支铅笔放进99个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔。

……

（引导学生采用假设的思路熟练地表达）

师：你从中发现了什么规律？

生：只要铅笔的数量比笔筒多1，那么总有一个笔筒至少要放进2支笔。

师：如果有n（n≠0）个笔筒，铅笔的支数如何表示呢？总有一个笔筒中至少放进几支铅笔？

生：铅笔的支数用n+1表示。（n+1）÷n=1……1，所以总有一个笔筒中至少放进2支铅笔。

师：刚才我们研究了笔放入笔筒中，类似的问题还有把书放进抽屉里、鸽子飞回鸽巢里等等。

师：同学们的这一发现，称为“鸽巢问题”（板书：鸽巢问题），最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。

四、运用模型，解决问题

师：“鸽巢原理”的应用是千变万化的，运用这个原理可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。运用时关键是找出谁是“鸽巢”，谁是“鸽子”。下面我们应用这一原理解决问题。

师：三个小朋友同行，其中必有几个小朋友性别相同？为什么？

生：这道题中男、女两个性别相当于“鸽巢”，三个小朋友相当于“鸽子”。假设两个小朋友的性别分别是“男”“女”，剩下的一个小朋友不管是什么性别都至少有两人是同一性别。

师：随意找13位老师，他们中至少有几个人的属相相同？为什么？

生：这道题的12属相相当于“鸽笼”，13位老师相当于“鸽子”。假设12位老师分别是12个不同的属相，那么剩下的1位老师不管是什么属相，都至少有两位老师的属相是相同的。

师：现在你能解释课前老师的推理游戏中蕴含的数学原理了吗？

生：假设4人每人抽到了一种花色，剩下的一人不管抽到哪种花色，都至少有2人是同一花色的。

师：这节课我们学习了《鸽巢问题》，其实生活中还有好多类似的知识等待我们去发现、去发掘，老师希望通过你的努力学习，在不久的将来能有一条真正属于你自己的“狄里克雷原理”！