基于Radon变换的CT系统参数标定

许珊珊 杨玉欢 张孝明

(1.西南石油大学理学院，四川 成都 610500；2.西南石油大学计算机科学学院，四川 成都 610500)

1 引言

CT技术在医学应用、无损检测、精密仪器反演等多个领域发挥着重要作用，CT系统图像重建是CT技术的核心。而CT系统参数的标定对其后的重建效果起着至关重大的作用。任意一个装置存在几何偏差时，都会导致重建图像中产生几何伪影，几何伪影的出现会影响断层图像的重建质量。为此，本文根据2017年全国大学生数学建模竞赛A题，对第一问需要求解的CT系统参数建立数学模型进行研究分析。

2 问题假设

(1)模板中的椭圆、小圆都是标准的椭圆和圆形；

(2)发射器发射的X射线相互平行且忽略空气对X射线的衰减；

(3)发射-接收系统均匀转动。

3 基于Radon变换与最小二乘法的CT系统参数标定

3.1 模型建立

由于正方形托盘上放置的固体介质是均匀的，并且忽略空气对X射线的衰减，根据衰减规律，CT投影长度与接收信息成正相关，由此可得：

(1)

其中，u为衰减系数，也就是本题的吸收强度，l为投影长度，γ为接收信息。

由于在扫描过程中，会出现部分X射线会同时穿过椭圆和小圆的情况，设l1为X射线在椭圆中穿过的距离，l2为X射线在小圆中穿过的距离，于是，l=l1+l2。

X射线对均匀固体扫描的过程中，Radon变换可以写成：

(2)

其中，Rf为投影长度，故有：

(3)

又因为X射线平行入射且垂直于探测器平面，发射器与探测器的相对位置不变，则l1、l2分别是X射线与椭圆、小圆的相交弦长。

以X射线扫描椭圆为例，以椭圆中心为原点，短轴为x轴，长轴为y轴，建立平面直角坐标系，设旋转中心为or(x0,y0)，初始角度为θ0，每次转动的角度为Δθ，于是第i次旋转后的角度为：

θi=θ0+iΔθ

(4)

根据几何知识可得椭圆方程为：

(5)

若第k个探测器对应的平行射线X表示为：

yk=b+(k-1)d

(6)

逆时针旋转Δθ后，公式(6)旋转公式为：

(7)

其中，yik表示旋转第i次后第k个探测器对应的平行射线X的方程。

联立方程(5)、(6)、(7)，得到如下表达式：

(8)

设交点为(x11,y11)和(x12,y12)，根据韦达定理得：

(9)

得到旋转第i次后第k个探测器对应的平行射线X与椭圆的相交弦长为：

(10)

同理可得，当X射线扫描小圆时，圆的方程设为：

(x-a2)2+y2=r2

(11)

设交点为(x21,y21)和(x22,y22)，联立式(7)和(11)，根据韦达定理可得：

(12)

得到旋转第i次后第k个探测器对应的平行射线X与小圆的相交弦长为：

(13)

(14)

因此我们建立了基于最小二乘法的CT系统参数标定模型：

(15)

3.2 模型求解

l是关于参数(θ,d,x0,y0)的函数，我们利用MATLAB中的fmincon函数完成了CT系统待定参数的求解。得到的结果如表1所示。

表1 CT系统参数标定结果

4 总结

本文基于CT投影长度与接收信息成正相关，结合Radon变换原理和题目已知信息，自行推导建立了参数标定模型，利用MATLAB工具箱进行优化求解。但模型还不够成熟，不能广泛应用于其他问题求解，这也是本文进一步改进的方向。

[1] 2017年全国大学生数学建模竞赛赛题下载，中国大学生在线数学建模[EB/OL].http://special.univs.cn/service/jianmo/sxjmyw/2017/0724/1164059.shtml.

[2] 石冶郝,余玉峰,程小红.CT扫描中的数学——拉东(Radon)变换[J].首都师范大学学报(自然科学版),2013.

[3] 李增云,吕东辉.利用部分投影的二维CT旋转中心偏移快速校正[J/OL].CT理论与应用研究,2015.

[4] 李真.锥束CT系统几何校正方法[D].石家庄：河北大学,2014.