两种理解哪种更合理？

福建省古田县第一中学 (352200)

兰诗全

1 问题缘起

笔者发现在一本教学参考书有以下一例并作了错因分析.

题目在钝角三角形ΔABC中，a=1,b=2,c=t,且C是最大角，求实数t的取值范围.

2 笔者(甲方)的理解

笔者阅后进行一番思考:以上错因分析击中要害了吗?为什么?

若按照以上错因分析的说法,即用了余弦定理后,还要再考虑三边能否构成三角形.难道三边满足了余弦定理,还未必能构成三角形?故笔者作以下探索.

证明:∵0

∴a+b>c.

所以不难有结论:若三边满足余弦定理,则这三边一定能构成一个三角形.故参考书中的错因分析未能击中要害,未揭示问题的本质,易引起误解.

那么,以上错解究竟错在哪里呢?关键是未将问题作等价转化.并提供以下正解.

最后点击:千万别小看这小小的改动,它可击中要害,是对问题的本质理解.数学解题一定要突出方法,突出问题的本质与规律,这样才能达到真正理解.

3 乙方的理解

(1)以上甲方的分析有一点自圆其说、一厢情愿的意味．原来的解法只应用了余弦定理，显然没有关注到这个三角形存在的条件．只有确保1、2、t三条线段能够构成一个三角形，才能使用余弦定理讨论最大边t应满足的条件，否则属不严密．而不是甲方理解为“在应用了余弦定理后还要再考虑三边能否构成三角形”，甲方未能正确理解别人意图．甲方的分析有一个逻辑顺序的问题．

(2)如何满足余弦定理？如此，是否不需要讨论三角形任意两边之和大于第三边的条件？后面的解答过程中，得到的t2<9，其实质上还是三条线段的长能够构成三角形的条件，何必多此一举，人为复杂化．

(3)甲方前面的讨论，有循环论证之嫌，值得推敲．甲方给出的解答，明显的是简单问题复杂化，不符合大多数人(有条有理、由浅入深、层层递进)的思维习惯．甲方的解法非最简洁、最本质．不值得提倡．

(4)对甲方的解答“击中要害”，“是对问题的本质理解”，实在看不出来，只觉得没有必要．

4 笔者(甲方)的再强调

(1)解题真的要注意逻辑顺序问题．乙方认为，原来的解法只应用了余弦定理，显然没有关注到这个三角形存在的条件．笔者认为，若三边满足余弦定理,则这三边一定能构成一个三角形，根本不必再检验三边是否满足构成三角形．数学解题中何时要检验，何时不必检验，这个逻辑顺序问题要清楚．

(2)等价转化的思想是数学的重要思想之一，不要只“意会”，要落实到具体的解题之中．原来的解法根本错在没有用够余弦定理，没有对问题进行等价转化造成的错解．

∵ΔABC是钝角三角形且C是最大角,∴90°

后面的解答过程中，得到的t2<9，虽其最终还是三条线段的长能够构成三角形的条件，但有个逻辑顺序的问题．这不是多此一举，人为复杂化．

(3)甲方前面的讨论，正是为了解决循环论证问题．若三边满足余弦定理,则这三边一定能构成一个三角形，根本不必再检验三边是否满足构成三角形．

(4)有条有理、由浅入深、层层递进的思维不是绝对的好思维习惯．全面考虑等价转化在数学解题中往往更值得提倡．

“问题将越辨越明，认识将越分析越深刻．”“讨论是学习，交流促进步．”亲爱的读者朋友们，你认为两种理解哪种更合理？你还有哪些想法？希望能展开热烈的讨论．