经典排队模型在数学建模中的应用

雷湘池

【摘要】近些年来，人类社会正处在由工业化社会向信息化社会过渡的变革，人们对数学模型更加关注，数学模型在各个领域中的应用愈加广泛，排队论作为数学建模中的一个经典模型之一，在数学建模中有着广泛应用，也是要学习数学建模必修的一门课程。本文将概括性介绍一些经典排队模型在数学建模中的应用，希望能够对人们学习数学建模起到帮助。

【关键词】经典排队模型；数学建模；应用

【中图分类号】O159 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）32-0160-02

引言

今天，人类社会正处在飞速前进中，并逐步过渡向信息化社会。在飞速发展中，社会进程呈现出两个重要的特点：计算机领域的广泛应用；数学在各大学科中的地位逐渐提高。随着计算机技术的更新换代，数据挖掘与科学计算的作用愈发引起人们的广泛关注，并成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法之一，而数学建模的地位也随之上升。系统的数学建模教学有助于学生形成自觉应用知识解决问题的思维，从而培养我们重视应用的意识。由于重视应用，从而主动获取多方面的理论知识，进而获得更多实践机会，更加重视应用能力；由于善于应用，才能联系理论与实践，并形成良性的促进和循环。

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型、求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学建模应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。我们能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。

一、排队论模型概述

排队可以说是在日常生活中经常会遇到的现象了，上到看病、参观博物馆，下到买菜、等车之类问题，都常常要排队。排队的关键就在于等待的过程，没有等待就构不成排队，因此，排队要求服务的数量大于等于服务机构的容量。

于是，排队论应运而生了。排队论（Queuing Theory）属于运筹学的一种方法，主要用来研究排队时间和等待服务时间。通过选择各种排队系统，应用概率论、数理统计学科的方法，来解决相应排队系统的最优设计和最优控制等等问题，属于是数学建模优化问题的分支。

在排队论里，通常把等待服务的甲方称为“顾客”，顾客可以是人，也可以是物，而提供服务的乙方则可以被称为“服务台”或“服务员”。顾客与服务员共同组成了服务系统。首先，顾客为了获得某种服务到达系统，而系统中已有人接受服务，因此顾客不能一到达，就立刻获得服务，并且该系统是允许排队等待的，此时顾客可以加入等待队伍，等获得服务之后再离开系统，满足上述条件，便成为了一个排队系统。

排队论就是为解决上述问题应运而生的一门学科，本文主要研究排队论在数学建模中应用。

二、排队论基础

1.排队系统的特征

一个完整的排队论系统，有如下三个特征：

（1）请求服务的人或物——顾客；

（2）为顾客服务的人或物——服务员或服务台；

（3）整个排队系统的状态也是随机的。

2.排队系统的基本组成部分

一个完整的排队系统应该有如下三个部分：输入过程、服务规则、服务台。

要求服务的顾客按什么规律到达相应的排队系统的过程指输入过程，也可以称其为顾客流。

通常情况下，我们可以从以下三个方面来描述一个输入过程。

（1）顾客总体数。也可以被称为是输入源或顾客源。顾客总体数既可以是有限的，又可以是无限的。举例来说，十字路口等红灯的车辆总数可以认为是无限的，而有限的例子有，某个手机店因故障待修的手机。

（2）顾客的到达方式。

（3）顾客相继到达的时间间隔的分布或者是顾客流的概率分布。顾客流的概率分布一般下面几种，定长分布、二项分布、Poisson分布（最简单流）以及Erlang分布等等。

服务规则：通常情况下，可分为损失制、等待制、混合制。

服务台：从三个方面来描述：

（1）服务台数量及构成形式从数量上来看，服务台有单服务台和多服務台之分.从构成形式上来看，服务台有：

①单队——单服务台式；

②单队——多服务台并联式；

③多队——多服务台并联式；

④单队——多服务台串联式；

⑤单队——多服务台并串联混合式

以及多队——多服务台并串联混合式等等。

（2）服务方式：在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。

（3）服务时间的分布：一般情况下，对每一个顾客的服务时间是一种随机变量。

三、排队模型在数学建模中的三种应用模式

一般情况下，排队系统的一般决策过程有如下三种：

①根据已知条件绘制状态转移速度图；

②依据状态转移速度图，写出各稳态概率之间的关系；

③求出P0及Pn；

④计算各项运行指标；

⑤用系统运行指标，来构造一个目标函数，从而对系统优化.

排队论模型主要有以下几种：

（1）M/M/n/n排队模型

顾客到达的间隔时间呈现负指数分布，设参数为λ；

顾客接受服务的时间呈现负指数分布，设参数为μ；

系统有n个服务台；

系统最多容纳n个顾客；

系统的状态空间

（2）M/M/n排队模型

顾客到达的间隔时间呈现负指数分布，设参数为λ；

顾客接受服务的时间呈现负指数分布，设参数为μ；

系统有n个服务台；

系统容量没有限制；

系统的状态空间

（3）M/M/n/m（m>n）排队模型

顾客到达的间隔时间呈现负指数分布，设参数为λ；

顾客接受服务的时间呈现负指数分布，设参数为μ；

系统有n个服务臺；

系统最多容纳m个顾客；

系统的状态空间

四、以医院系统为例分析排队论的应用

医院是一个复杂的系统。患者到门诊就诊、等待住院等，都有可能碰到需要排队等待接受服务的情况。尤其是遇到病人需要住院动手术的情况，医院就得根据医院已有的病床，考虑安排病人做于术的时间、入院的时间、出院的时间等等；若病人较多时，还得考虑安排哪种类型的病人做手术、人院、出院等；同时还得根据医院的各方面条件，考虑安排多少个病人做手术、人院、出院等。若医院病床安排的比较合理，则在医院的病人不会显得拥挤，病人等待的时间也不会过长，接受服务也比较快，病人会比较满意；若安排的不合理，则在医院的病人就会显得拥挤，病人等待的时间过快，病人会比较满意；若安排的不合理，则在医院的病人就会显得拥挤，病人等待的时间过长，接受服务较慢，病人会满腹怨言，从而影响医院的效益。

我们可把医院的病床位看成并联的服务窗口，查询资料知服务时间的概率分布服从负指数分布，单位时问内到达数的概率分布服从泊松分布，则医院服务系统近似为多服务窗等待制排队模型M/M/系统，因此可以用该模型的指标对各种策略模型进行评价。

这样就可以运用排队论对某一医院的病床安排情况进行评价，并对该医院病床数配备进行模拟，得到较合适的病床配备数。对于一般的医院，可依照上述方法，根据每个医院病床安排的具体情况运用排队系统的主要指标对其进行评价，并对病床数进行合理的配置。

该模型的优点在于，人流进入测试系统的速度在一定程度上达到了最大，其中，模型中的对排队型的设置（包括班级排队对型）使得系统在运行速度达到了最大，使得人员等待的时间达到最小。

五、结语

排队是生常生活中常见的现象之一，例如上下班搭乘公交车；顾客到超市购买物品；生病到医院就医；乘客到售票处购买车票等。随着科学技术的发展日益迅猛，特别是计算机技术的发展。排队论的科学研究更是日新月异，应用领域也不断扩大。

排队论，又称随机服务系统理论，它是研究服务系统中排队现象随机规律的学科，广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等随机服务系统。将数理逻辑的理论应用于排队论中，可以解决生产实践中的很多相关问题。

排队论属于运筹学的范围，当今社会资源优化配置问题一直是有关部门和人员关注的焦点，无论是有形的还是无形的资源都在我们生活中占有很重要的地位，如何合理地利用有限资源来实现系统最高效率越来越受到人们的重视。可以说在这个快节奏的社会，运筹学的应用无处不在。数学建模因此，学好经典排队模型，对数学建模有很大帮助。

而数学建模可以培养我们从根源入手分析解决问题的正向思维和从结果入手剖析问题的逆向思维，这种“双向思维”为应用型人才提供了知识基础。数学建模需要用数学语言将实际问题抽象概括为数学问题和模型，还需用专业知识来解释数学模型的解。上述两方面，特别是后者的逆向思维和分析能力，对我们实际工作能力的提高有很大帮助。这种双向思维的训练，使我们紧紧抓住实际问题中的“变”与“不变”，即：实际问题的背景和论域是多变的，但数学知识是“不变”的。经过这种思维训练的人，往往能将困难转变为机会，变压力为动力，拥有更多的创新能力和机会。

综上，学好经典排队模型对我们有很大帮助。

参考文献

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