复合函数中的剥洋葱理论

[摘 要] 以复合函数为焦点，应用生活中剥洋葱的理论来阐述复合函数的复合原理和分解过程以及在复合函数的导数过程中的灵活理解运用。意在化抽象为具体，化复杂为简单通俗易懂的阐析数学中的复合函数，以此更加深刻地理解复合函数的求导过程。

[关 键 词] 复合函数；剥洋葱理论；生活原理

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）11-0104-01

复合函数是函数中重要的知识点，也是函数知识中的难点。在求导数中，复合函数的求导是导数章节中的重难点。文章先从剥洋葱事件开始，将其理论和原理用于解析复合函数的知识点。在复合函数的合成中，以剥洋葱原理来一层层合成，使合成过程更清晰、明了、易于加深掌握。分解复合函数可以理解为从外到内一层层剥洋葱，每次剥一层函数，剥去一层函数再剥里面一层，直到剥到最里面的基本初等函数为止。求复合函数的导数，是在复合函数的分解基础上来理解求导。对第一层求导时，把第二层及以内看成整体，这个整体也是一个复合函数，可称为第二层复合函数，就是说第一层关于第二层复合函数求导数，第二层复合函数当成函数自变量。对第二层求导时，把第三层复合函数看成自变量，以此类推，直到求到最里层的基本初等函数的导数为止。

所以，关于复合函数的知识点，引用剥洋葱的生活原理，把抽象复杂的数学问题转化为浅析的生活常识，让数学体现于生活，生活又体现数学，生活与数学紧密联系起来。

一、剥洋葱理论

学习复合函数的相关知识可以运用生活中的剥洋葱原理，剥洋葱先撕去最外层的薄膜，再撕第二层，再撕第三层……

复合函数中的剥洋葱理论：复合函数因为一个个函数复合累积，最后的表现形式复杂庞大；当没有做好准备去面对复合函数时，直观上会觉得无从下手；在解题之前先仔细思考深度探究，选用剥洋葱理论，一层层分析处理，稳定的由外而内逐渐剖析开来，从而达到良好的解题效果，化深层高难度问题为逐渐清晰的简单问题。

复合函数中的“剥洋葱”的过程是一个逐渐探索的过程。首先要仔细观察，客观认识问题、发现问题、研究思路直至解决问题。

二、复合函数

（一）复合多个函数

将几个基本初等函数复合成一个函数的过程，可以看成是由内而外观察洋葱构成的过程。如：v=x+2，u=■，y=cosu则y=cos■，y=cos■。将v=x+2看成是洋葱的最里层，u=■看成是中间层，y=cosu是最外层，y=cos■是三层洋葱。同理：v=3x，u=sinv，y=eu则：y=esinv，y=esin3x。v=3x是最里层，u=sinv是中间层，y=eu是最外层，y=esin3x是三层洋葱。这样来理解分析几个基本初等函数复合成一个函数，简单明了，化繁琐为简易，化深奥的数学为简单的生活常识原理。

在这里值得注意的是并非任何两个函数都可以复合. 例如，y=arcsinu和u=x2+2就不能复合，因为x2+2≥2，而y=arcsinu的定义域是[-1，1]，不是任何两个函数都可以构成一个复合函数的。

（二）复合函数的分解

所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。复合函数的分解就如剥洋葱，先剥最外层，把除最外层之外里面的所有层全部看成一个整体，剥第二层的时候，把第三层及里面的层看成一个整体，剥第三层的时候，第四层和第四层以内的层看成一个整体，直到剥到最里层。要掌握好将一个复合函数分解成几个基本初等函数，同样可以用洋葱理论来理解，其步骤是自外层向内层逐层分解，不能漏层。指出复合函数的复合过程时，分清楚复合函数的最外层，第二层，第三层……

如：y=sin2■是由最外层y=u2，第二层u=sinv，第三层■和第四层w=x2+1复合而成.

如：y=ln（■）是由最外层y=ln u，第二层u=tanv，第三层v=ew，第四层w=x2+2sinx复合而成，其中x2+2sinx是简单函数，所以到第四层就是最内层了。

（三）复合函数的求导

复合函数的求导宗旨是指以一个函数作为另一个函数的自变量进行求导。复合函数的求导运用生活中的剥洋葱原例来理解，第一步求导中，把第二层及以内的层看成一个整体，对最外层关于这个整体求导，第二步对第二层关于第三层及以内的整体求导，第三步对第三层求导，第四层及里面的层看成一个整体，直到求导到最里层关于单独的自变量求导为止。

函数y=（1-2x）7可以看成外层和里层是由外层y=u7，里层u=1-2x两个函数复合而成的。求导时先把最里层u=1-2x看成一个整体，外层关于里层求导后，再对里层这个函数u=1-2x关于自变量求导，则y′=y′u·u′x=7u6·（-2）=-14（1-2x）6。

对复合函数的分解比较熟练之后，可快速看出复合函數的分层，就不必写出中间变量，直接采用由外及里，逐层处理复合关系的方式进行求导.如：y=ln sin ex是三重复合函数，则y′=■·（sin ex）′=■·（ex）′=ex·cot ex。

三、结论与建议

复合函数的学习以剥洋葱的事例来理解，将生活原理应用于数学的学习中，这样使难以理解的数学问题得以简单清晰化，便于更好地理解和掌握。深奥抽象的数学学习犹于剥洋葱，剥掉表面的最外层才能更好认识第二层，剥掉第二层，才发现第三层的美妙，剥到最里层才明白数学的周密严谨和伟大。每剥掉一层都会发现其中的奥妙和本质构成，层层剥落间，难以攻克的数学难题以完美解答呈现在眼前。

用浅显易懂的生活原理表达原本复杂的数学知识，并进行了深入浅出的分析讨论，用简单的文字清楚地表达复杂的意思，是剥洋葱理论应用于复合函数学习的宗旨，也是数学教学中的最高境界所在。

参考文献：

[1]农建诚.复合函数求导方法教学教法探讨[J].课程教育研究，2012（19）.

[2]梁婉婉，刘继成.复合函数的可积性及应用[J].大学数学，2017（5）.

[3]曹晓斌，马向阳.效能监察“剥洋葱”层层内控见效益[N].中国石油报，2010-10-08.