二阶变系数线性微分方程的解法研究

白慧

众所周知的是，对与二阶变系数线性微分方程其一般解析式：

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x） ①

基于其定义我们可以知道P（x）、G（x）、F（x）是连续的，那么方程的解是存在的。但是其可积性也只能是三者处于特定的情况下才能存在。这部分内容比较深奥，在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题。因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径。

1可积条件

首先在方程①，我们通常所使用的方式是采用变量对上述的方程进行替换，并且一般替换的对象是可降价的方程或者是常系数线性方程。这种方式的制约性就是在选择使用怎样的方式来进行替换的时候必须要看P（x）和Q（x）之间存在怎样的关系来确定。就是在进行计算的过程中需要受到很多方面的影响，变量的不确定性大大增加了在解方程过程那种的困难性。

接下来我们探讨方程①可积的重要条件：

P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常数b、c

②

经过变换我们不难看出当①中的p（x）和q（x）分解为②时，即方程：

③

经过双变化之后不难看出其常系数线性方程：

④

之后可以再次经过转化得出：

⑤

在对方程：

⑥

双变换完成之后：

显然上述的公式是错误的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在进行分解的过程中一般都不会将其分解成②的形式，一般在针对某些简单的情况下，我们可以使用拼凑法的形式；……