曲梁的应用及研究

摘 要：随着工程建设的不断复杂，直梁已经无法满足实际需求，对曲梁的研究显得尤为必要，特别是在材料科学与工程方面，显得尤为必要。本文通过研究国内外对曲梁的研究，并结合曲梁力学模型的理论研究，对刚度矩阵在曲梁的分析进行了探讨。

关键词：曲梁；梁平衡；刚度矩阵；有限单元法

在无载荷的条件下，具有平面曲线轴的梁，通常称为曲梁。现代结构工程中，尤其是在桥梁工程中，曲梁的应用非常广泛，在船舶工程和航天工业中也有着广泛的应用。曲线梁样式多样，如连续曲梁、薄壁开口曲梁、复合曲梁、多曲梁等。根据线性分为变曲率曲梁、圆弧和直线的组合曲梁等；按截面形式分为I型、槽型等。从外观上来说，曲线梁桥造型独特，和周围的环境，可以帶来美的视觉上的享受，满足人们的审美要求；从结构上来说、曲线梁桥能很好地适应地形、地物的限制要求，使交通规划更加科学合理，具有更好的承载能力。近年来，随着科学技术的不断进步，特别是材料科学方面的进步，复合材料的大量出现，使得曲梁的应用空间得到了极大的扩展。同时，随着交通和城市建设的进一步发展，高等级公路、铁路和城市立交枢纽的曲线桥逐渐增多。

曲线梁的分析方法也受到国内外许多学者的关注。然而，由于曲梁原有曲率的存在，使得曲梁的力学性能非常复杂，研究较为困难，其中曲梁的稳定性是一个非常突出的问题，而且曲梁的屈曲理论远远小于直梁的屈曲理论。许多学者对曲梁理论进行了研究，但结果却不尽相同。

一、国内外研究现状

相对直梁的研究，曲梁的研究相对较晚，最早的研究可以追溯到十九世纪，S.Venant在1855和1856年用半逆解法分别求解柱体扭转和弯曲问题，对圆截面曲杆的扭转理论进行了研究。曲梁这一理论直到二十世纪50年代才开始了更深入的研究，前苏联学者Vlasov[1]建立了经典的稳定性理论，曲梁在直梁平衡方程中，相应的曲率被替换，得到曲梁。随后曲梁的研究，基本上都是基于Vlasov的理论展开的。Usami等[2]基于Vlasov的模型，基于薄壁构件理论分析的基本假定，推导出曲梁的翘曲位移的近似表达式，并用于拱稳定问题的理论研究。

国内曲梁比较系统的研究始于上世纪80年代，由台湾学者Yang等人[3]从薄壁构件理论的基本假设出发，对双轴的对称的工字型曲梁，进行了细致分类，并建立了曲梁稳定分析的基本方程。近几年，对曲梁的研究主要是在刚度矩阵上和通过有限元进行分析曲梁应力应变方面，其中刘铁等人[4]针对平面内变形的微圆段进行研究，给出了等曲梁梁的单元刚度矩阵，以便对含曲梁梁的结构进行分析。而在此之前宋郁民等人[5]基于矩阵求逆理论，提出矩阵求逆的综合法。他们的研究意义，在于实现了曲梁的分析的公式化，使得对对曲梁分析采用有限元分析成为了可能。有限元法[6]是一种高效而常用的数值计算方法。在科学计算领域中，许多微分方程的解析解通常很难获得，我们经常需要解决各种微分方程.在离散微分方程的有限元方法，可以编写程序，用计算机解决他们。有限元法是在变分原理的基础上发展起来的，在拉普拉斯方程和泊松方程描述的各种物理场中得到了广泛的应用。特别是随着高性能计算机的逐渐普及，曲梁的力学分析模型特别是定性分析和刚性矩阵的研究对快速分析曲梁受力情况、潜在破裂位置等有明显的帮助。

二、曲梁的理论研究

（一）基于张量理论，建立曲梁的几何方程和平衡方程

弹性力学中的应力和体力可以用张量理论表示，即可以用坐标系的平衡微分方程表示σij，j+f=0，σij，j表示应力对相应坐标的变微分，f代表体力总和。这里使用张量理论的原因在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。空间双曲率的平衡方程也需要轴向边界条件，可以得到初始形状下的平衡微分方程。为了研究空间双曲梁的几何方程，需要同时对梁截面进行几何描述。一是确定曲梁轴线坐标系与轴线中心坐标系的关系，以及主轴中心、中性轴与曲梁半径的关系。同时，根据FrenetSerret公式，得到了曲梁的变形几何方程，包括曲梁角方程、角位移方程和应变位移方程。

（二）曲梁形变的几何方程和平衡方程，以及在曲梁中的应用[HT]

空间双曲率梁的平衡微分方程和变形几何方程含有双曲率平面内曲率和平面外挠率。曲率、挠率两个变量影响曲梁的特性。当曲梁是恒定的，即平面曲梁描述的几何梁弧部分。因为有一个双曲率变为零，另一个是不变的，所以任何曲线空间可以简化成平面圆弧。平面梁弯曲变形几何方程的平衡微分方程比较空间梁和双曲率变形方程的平衡方程，将大大简化，简化后的方程可以作为组合平衡方程和梁的曲率方程的有限元方程的基本单元可以形成新的变曲率。

（三）曲梁的简化刚度矩阵

由弹性核法可求得圆弧曲梁j端柔度矩阵如下：

三、结论

通过对曲梁的平衡状态分析，实现了对曲梁的力学模型的构建，这对进一步认识曲梁的力学性能起到了重要作用。通过曲梁的力学理论和平衡关系，构建了曲梁的平衡方程和几何方程，通过矩阵变化和逆矩阵变化简化得到了曲率梁的刚度矩阵，结合前人的研究[7]，简单曲梁单元可作为复杂结构梁弯曲空间梁的有限元分析，该方法可更方便的应用于计算模型和计算软件，方便用于应力和应变分析，进而更直观、更数字化的理解曲梁的应力状态。

参考文献：

[1]Vlasov，VZ.Thinwalled elastic beams，2nd edition[M].Washington D.C. ：National Science Foundation，1961.

[2]R Dabrowski.Curved thinwalled girders theory and analysis[M]. London：Cement and concrete association，1973.

[3]Yang Y B，Kou S R.Static stability for curved thin walled beams[J].Journal of Engineering Mechanics， ASCE，1986， 112（8）：821841.

[4]刘铁，林赵阳，吴金国.面内变形曲梁的显示刚度矩阵[J].沈阳建筑大学学报，2013.

[5]宋郁民，吴定俊.基于矩阵求逆理论的曲梁单元刚度矩阵解析解[J].结构工程师，2010.

[6]吴鸿庆.结构有限元分析[M].北京：中国铁道出版社，2000.

[7]魏秋宇.曲率梁的力学研究及其应用[J].江西建材， 2016（6）：1.

作者简介：孙皆宜（1962），女，河北唐山人，本科，教授，唐山学院教师，研究方向：物理学及应用。