两条思路解决万有引力定律相关试题

屠一凡　郑卫峰

摘要：教育部发布了《普通高中物理课程标准（2017年版）》，明确规定万有引力定律属于必修2模块下的“圆周运动与万有引力定律”这一主题，按照其内容要求和近10年高考全国统考理综卷的命题规律我们可以总结出有关万有引力定律的试题类型和解题思路，以此指导教师备课和学生学习，进一步为师生终生学习与发展奠定基础。

关键词：普通高中物理课程标准；高考；万有引力定律；试题类型；解题思路

2018年年初教育部发布了普通高中课程方案和14门课程标准，新修订的课程方案与标准进一步明确了普通高中教育的定位，我国普通高中教育旨在促进学生全面而有个性的发展，为学生的终生发展奠定基础。其中《普通高中物理课程标准（2017年版）》明确必修2模块下设置“机械能及其守恒定律”“曲线运动与万有引力定律”“牛顿力学的局限性与相对论初步”三个主题，并对各个主题的内容要求进行了详细的说明，其中有关万有引力定律的内容要求有两点：2.2.4通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。2.2.5会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。基于这一内容要求，文中对近10年高考全国统考理综卷进行分类与统计分析，总结出有关万有引力定律的试题类型和解题思路。

一、 万有引力定律有关试题的类型

题型一：求中心天体的质量与密度

在2014年全国卷Ⅱ和2009年全国卷Ⅰ中就考了这类试题，并均以选择题形式出现。

1. 质量的计算：

下面以计算地球的质量为例，介绍两种方法。

方法1：已知某天体绕中心天体运动的周期T和轨道半径r，由万有引力提供向心力，即GMmr2=m2πT2r，得M=4π2r3GT2。

方法2：已知中心天体的半径R及其表面的重力加速度g，不考虑地球自转，地面上质量为m的物体所受的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg=GMmR2，M=gR2G。

2. 密度的计算：

将天体视作半径为R的球体，则天体的密度ρ=M43πR3。

将上述两种方法所求得中心天体的质量代入，

（1） 将M=4π2r3GT2代入上式得：ρ=3πr3GT2R3，且当天体在中心天体表面附近运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ=3πGT2。

（2） 将M=gR2G代入，且已知中心天体表面上的重力加速度为g，则ρ=3g4πRG。

题型二：估算天体表面重力加速度值

在2015年全国卷Ⅰ、2012年全国卷Ⅰ中也出现了这类考题的考查，以选择题形式出现。

设有一质量为m的天体，绕着另一质量为M、半径为R的中心天体做匀速圆周运动，中心天体表面的重力加速度为g，不考虑天体自转，则万有引力等于重力，即有基本关系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2或g=GMR2

但在同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM（R+h）2。

在此基础之上，常常结合抛体运动的规律一起考查。

题型三：环绕天体的运动情况与机械能变化分析

在2013年全国卷Ⅰ和Ⅱ，2012年全国卷Ⅱ中就出现了这类考题，以选择题形式出现。

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。由万有引力提供向心力，则可得到该天体绕行的周期、线速度、角速度、向心加速度：

由GMmr2=m2πT2r=mv2r=mω2r=man，可得相关结论。

在此基础上可能结合环绕天体的变轨问题进行考查，环绕天体稳定绕行时由万有引力提供向心力，但是由于某种原因环绕天体的速度突然改变时，环绕天体所受万有引力与所需向心力不再相等，则可能做近心运动或离心运动。

在此基础之上，还可能结合天体的机械能来考查，天体机械能包括动能与引力势能，动能与质量和线速度大小有关，引力势能与质量和距中心天体的距离有关。在天体质量不变的情况下，r越大，线速度v越小，天体的动能越小，引力势能越大，在只有万有引力做功的情况下，天体的机械能守恒。

题型四：同步卫星问题

在2016年全国卷Ⅰ，2011年全国卷Ⅰ，2010年全国卷Ⅱ中都出现了这类题，以选择题的形式出现。

同步卫星就是与地球同步运转，可用来作为通信卫星。同步卫星有以下几个特点：

（1） 周期确定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T=24 h。

（2） 角速度确定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。

（3） 轨道确定。

① 因提供向心力的萬有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。

② 由于所有同步卫星的周期相同，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6×104 km。

（4） 运行速度大小确定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，运行方向与地球自转方向相同。

题型五：第一宇宙速度

在2015年全国卷Ⅰ中就出现了这类题目，出现在选择题的某个选项中。

（1） 由万有引力提供向心力得，GMmr2=mv2r，所以卫星的线速度v=GMr，第一宇宙速度是指物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，则当r=R时得第一宇宙速度v=GMR（M为地球质量，R为地球半径）。

（2） 对于近地卫星，重力近似等于万有引力，提供向心力：mg=mv2R得v=gR，g为地球表面的重力加速度。

第一宇宙速度是最大的环绕速度、最小的发射速度，且对于别的天体也同样可以采用上述两种方法求其第一宇宙速度。

二、 两条解题思路总结

上述各类题型的解题方法在本质上都可以归为以下两条思路：（1）利用万有引力提供向心力列式；（2）利用万有引力与重力的关系列式。下面对这两条思路进行详细说明。

1. 万有引力提供向心力

一般情况下，行星或卫星等天体的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力由中心天体对它的万有引力提供。设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动，向心加速度为a，即有基本关系式：

GMmr2=ma

而向心加速度a=v2r=ω2r=4π2T2r，故有關系式：

GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r

2. 万有引力与重力的关系

（1） 不考虑天体自转时，万有引力近似等于重力

对于在中心天体表面附近的绕行的天体，重力近似等于万有引力，提供向心力。设质量为m的天体绕另一质量为M、半径为R的中心天体做匀速圆周运动，中心天体表面的重力加速度为g，即有基本关系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2（黄金代换式）

同理，如果不在天体表面附近，而是在距离天体表面一定高度处，依然有万有引力近似等于万有引力，只是g值改变为g′，即有基本关系式：

g′=GM（R+h）2

（2） 考虑天体自转时，重力是万有引力的一个分力

当某物体置于天体表面，伴随天体自转一起转动，因此由万有引力，考虑地球自转，

在两极上，万有引力等于重力：mg=GMmR2。

在赤道上，重力是万有引力的一个分力：mg′=GMmR2-mω2R。

通过对近十年高考题的总结分析，我们可以发现以下三点：

1. 近十年来，万有引力定律相关试题的考查方式比较稳定，只以计算题和选择题的方式出现，且逐渐趋于主要以选择题进行考查，故所占分值也比较稳定。

2. 难度不大，主要题型稳定，一般为上述总结题型的直接考查或者灵活变换形式考查。

3. 不管试题背景信息如何变化，题型如何变化，解题思路就只有两种，掌握方法就能举一反三。

三、 结语

通过对近十年来高考新课标卷关于万有引力定律的考题进行的系统的分类与统计分析，我们发现了两条有效的解题思路。新课标对我们的要求是让学生学会学习，掌握终生学习所需要的基本技能。这对我们有很大的启发：对教师，我们在教学过程中要授人以渔，教学生掌握核心方法，理清解题思路，多进行物理模型的总结。对学生，我们要学会学习，理解物理量的物理意义及物理量之间的本质联系，不要搞题海战术，要学会举一反三。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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[4]张北春.天体运动、万有引力定律核心考点研读[J].中学生数理化（高一版），2015（3）.

[5]包栋柱.万有引力定律问题的巧妙分类[J].物理教学探讨，2012（9）.

[6]吕华荣，杨国平.高考物理试卷与课程标准一致性分析[J].中国远程教育，2013（5）.

作者简介：

屠一凡，福建省福州市，福建师范大学物理与能源学院；

郑卫峰，福建省福州市，物理国家级实验教学示范中心（福建师范大学）。