时滞发展方程周期mild解的存在性

李强

(山西师范大学 数学与计算机科学学院,山西 临汾 041000)

0 引言

设X为Banach空间。我们考虑X中半线性时滞发展方程周期问题

u′(t)+Au(t)=F(t,u(t),u(t-τ)),t∈R

(1)

ω-周期mild解的存在性,其中A:D(A)⊂X→X为稠定闭线性算子,-A生成X中的C0-半群T(t)(t≥0),F:R×X×X→X为非线性映射,且F(t,·,·)关于t以ω为周期,τ>0为常数。

时滞偏微分方程理论有着广泛的物理背景和深刻的应用前景,得到了长足的发展和广泛的应用,见[1-2]。近年来,时滞偏微分方程周期问题已发展为一个重要研究领域。特别地,时滞发展方程周期解的存在性受到了学者们的广泛关注(见[3-11]及参考文献)。

文献[3]在相应的同伦族方程的解是一致有界的假设下,获得了一类时滞发展方程周期解的存在性结果。文献[4]利用初值问题解的先验有界性,获得了时滞发展方程周期解的存在性结果。文献[5-7]在初值问题的解有界或最终有界的条件下,获得了时滞发展方程周期mild 解的存在性及唯一性结果。最近,一些学者还讨论了一类非自治时滞发展方程周期问题(见[8-9]),他们在非线性项满足Lipschitz条件时,利用初值问题解的有界性,获得了周期解的存在性结果。显然,在上述工作中,对解的先验估计是必要的。特别地,李永祥教授[11]在Hilbert空间中,利用算子半群理论,通过对解算子的周期延拓,得到了时滞发展方程周期解存在及渐近稳定的必要条件。值得注意的是,在文献[11]中,虽然不再要求解的先验有界性,但由于研究空间的局限性和算子的特殊性,使得其研究结果并不具有普遍的适用性。

受上述文献的启发,本文在一般的Banach空间中研究时滞发展方程周期问题(1)。我……