多维互动对话，助推学生思维发展*
——以《基本不等式》为例

☉江苏省太仓高级中学 陆 丽

用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，这是数学素养的一种体现.核心素养观下的高中课堂教学我们需要引导学生学会学习、学会分析、学会思考.在课堂教学中教师如何引导学生围绕某个研究性课题积极参与、体验成功、获取发展呢？课堂教学其实从本质上说是一种“沟通”的活动，是一种通过“提问”的方式进行对话的活动.《普通高中数学课程标准》明确要求发展学生的理性思维（特别是逻辑思维），使学生学会有逻辑地、创造性地思考，学会使用数学语言表达与交流，成为善于认识和解决问题的人才.因此学生核心素养的落实与养成要求必须变革传统的填鸭式、灌输式的教学方式，走向对话教学.笔者结合自己的教学实际，探索出以催生高效课堂为目标、助推学生思维发展为核心、培养学生终身发展为根本的教学模式——多维互动对话式教学模式，与同行共同探讨.

一、多维互动对话式教学模式的主要内涵

多维互动对话，即教学中，教师与学生、学生与学生、教师与自我、学生与自我、教师与文本（情境）、学生与文本（情境）等多个对象之间在互相尊重、平等的基础上进行的知识、话语、思想、情感等方面的交流沟通方式.

“多维互动对话式教学”的内涵是在开放、动态的课堂教学环境下，在教师、学生、文本（情境）之间平等和谐的多维对话与协作前提下的高中数学课堂活动组织形式，是真正蕴含数学教育价值的教学形式.它根据学生身心特点，以学生思维发展为本，研究如何培养学生积极主动地参与课堂，使学生能针对现学内容，以活动为载体，在各类活动中进行对比、联想、交流、辩论、反思，以达到驱动课堂，提高课堂教学的有效性，促进学生核心素养发展.

“多维互动对话式教学”课堂模式旨在课堂教学中通过开展多维度的“思维对话”，让学生主动参与、动手实践、亲身体验、表达与交流，展现学生对数学语言的运用、对数学问题的思考、对问题的数学表达、对问题的困惑与不同理解.它有利于促进课堂上学生学习方式、教师教学方式的转变以及实现数学课三维目标的有效统一.

二、多维互动对话式教学模式的教学实施方略

苏霍姆林斯基说过：特别重要的一点是要使学生感到自己是一个研究者、思考者，而不是消极的知识“掌握者”.多维互动对话式教学模式是在教师创设的“文本（情境）”环境下，在教师、学生、文本（情境）之间平等和谐的多维对话与协作前提下，让学生成为学习过程中的“研究者”.学生主动参与文本（情境）的研究，通过师生、生生、师与自我、生与自我、师与文本（情境）、生与文本（情境）等多个对象之间的交流沟通，亲身经历知识的形成与发展、抽象与概括的全过程，实现知识方法的有效内化和思维能力的有效发展.落实到操作层面，如何在数学课堂教学中实施多维互动对话式教学呢？在多维互动对话式教学中如何适时把握契机助推学生思维发展？笔者以苏教版必修5《基本不等式》的课堂教学为例，谈一谈自己的做法与体会.

1.创设情境，开启对话

文本（情境）：请拿出两张正方形的纸片，假设两个正方形的面积分别为a、b，并分别沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形.如果将这两个等腰直角三角形拼接和折叠，你能构造出一个面积为的矩形吗？

师：就此情境，同学们有什么看法？相互之间可以交流一下.

（小组之间相互交流，展开文本与自我、生与生对话）

生1：因为两个正方形的边长分别为要使构造出的矩形面积为只需构造的矩形两边边长分别为即两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠（.展示操作过程：图1→图2→图3.图3的阴影区域即为所构造的矩形）

图1

图2

图3

师：很好！大家的折法都一样吗？

生2：生1选取的两个正方形边长不同，而我选取的是两个边长相等的正方形，这样我也可以构造出面积为的矩形（.展示操作过程：图4→图5→图6，图6的阴影区域即为所构造的矩形）

图4

图5

图6

师：非常棒！大家能否用一个关系式来反映这个实验中的相等或不等关系呢？

生3：在拼接和折叠前两个等腰直角三角形的面积之和为，而拼接和折叠后得到的矩形面积为因此这个矩形的面积小于等于两个直角三角形的面

积之和，其中a＞0，b＞0.

师：什么情况下等号成立呢？

（引导学生自我对话）

师：它其实可以用四个字来描述：当且仅当也即当且仅当a=b时取“=”.

【教学体会】从学生比较感兴趣的动手折纸操作问题入手，让学生抽象归纳出基本不等式，一方面，激发学生的学习兴趣和求知欲，另一方面，实现对基本不等式几何背景的初步了解，提升学生的数学抽象概括能力.从对话教学的角度看，及时发问、适时追问，培育了学生的问题意识，开启了师生、生生、文本与自我、生与自我的对话.

2.公式建构，深入对话

师：我们把称为a，b的几何平均数称为a，b的算术平均数.刚才动手操作的结论能否用文字语言来描述？

生5：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当两个正数相等时两者相等.

师：讲的好！我们知道由实验的特殊情况得到的结论只是一种猜想，它的正确性还需要进一步严格证明，同学们如何证明这一结论呢？

（教师给学生自我对话的机会，促进学生的思维发展）

生6：我们可将不等式两边进行作差与0比较.

生7：我们可抓住要证的目标分析.要证只要证只要证，即证0≤（*）.因为（*）式成立，当且仅当a=b时取等号，所以（当且仅当a=b时取等号）.

生8：我是直接利用条件和事实推得目标的.因为对于两个正数a，b有（（当且仅当，即a=b时取等号），所以即2当且仅当a=b时取等号）.

师：大家能否总结一下这三位同学的方法？

（学生之间讨论，展开文本与自我、生与生对话）

生9：生6运用了比较法证明不等式，它解题的一般步骤是：作差→变形→与零比较→结论，需注意看清等号成立的条件.

生10：生7从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止.

生11：生8利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理，最后推导出所要证明的结论成立.

师：我们把生7证明不等式的方法叫做分析法，生8证明不等式的方法叫做综合法.谁能来总结下分析法与综合法的联系与区别呢？

生12：联系：将分析法倒过来书写就是综合法.区别：①基本原理不同：分析法——执果索因，综合法——由因导果；②书写格式不同.

师：弗里德里希·冯·恩格斯说过：“没有分析就没有综合”.因此，我们要学会用分析法分析，综合法来书写.这样我们就说明了由实验得到的不等关系对任意正实数a，b都是成立的.请问a，b的范围能扩大吗？

生13：a，b的范围可扩大到a≥0，b≥0. 即如果a≥0，（当且仅当a=b时取“=”）.

【教学体会】问题是思维的源泉，是对话的焦点，是对话的核心.课堂上教师用极具亲和力的语言创造了一个民主、宽松、愉快的学习氛围，通过提醒、点问、追问引导主体参与、揭示本质、经历过程，学生勇于发表见解、善于合作交流、乐于展示成果，充分体现了教师对学生主体的尊重.教师在组织学生去探究分析法和综合法之间的关系，并规范证明的过程，使得学生体会从特殊到一般发现数学、学习数学的方法，提升学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

3.理解公式，反思对话

师：如图7所示，以a+b为直径作一个半圆，圆心为O.能否在半圆中找到表示的线段，并借助图形比较出它们的大小？

图7

生14：过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接AD、BD、OD，则∠ADB=90°，OD=由射影定理可得DC2=AC·BC，解得DC=

生15：由圆内半弦长不大于半径，有DC≤OD，即

（教师几何画板演示，学生自我体会）

【教学体会】教师通过提问、点问、追问，启发学生，调控学生的思维，激发学生的学习热情.本节课中的基本不等式是通过图形中面积间的不等关系抽象获得的，为了让学生对基本不等式的几何背景有更丰富的认识，教师设计了探究基本不等式几何解释的活动.在此过程中，通过问题引导帮助学生运用数形结合的基本思想，强化其从运动、变化的角度思考问题和解决问题的意识.

4.巩固练习，升华对话

例题 判断下列不等式是否成立：

（学生思考片刻后，师生共同分析基本不等式的结构特征和运用它解题的注意点）

生16：基本不等式揭示了两个非负数的和与积之间的关系，其常见变形形式为a+b≥2（ a≥0，b≥0）（当且仅当a=b时取“=”）.

生17：运用基本不等式的注意点是：①使用前提：非负数或非负代数式；②结构特征：一边是和，一边是积；③思维方法：整体代换（赋值）.如（2）中

师：本节课的数学结论发现的一般过程是什么？基本不等式的内容是什么？在证明过程中我们运用了哪些方法？运用基本不等式可以解决哪些问题？需要注意哪些环节？

（学生用自己的语言表达出自己的想法）

【教学体会】课堂对话的整个过程是开放的，师生围绕知识各抒己见，达成共识.通过对话，让学生从知识层面谈理解，从方法层面谈提升，从思想层面谈认识.如此对话，知识的建构就越发丰满，领悟就越发深刻，教学就越发有效.在数学运用环节教师选择了适当难度的辨析题，主要让学生去分析不等式的结构特征，并能灵活运用基本不等式及变形公式解题，同时注重基本不等式成立的条件，培育了学生的转化能力、推理论证能力及运算能力，提升学生的数学核心素养.在课堂总结环节，通过教师小结式的提问，引导学生对基本不等式的理解再升华.

巴西著名学者费莱雷曾说过：“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有真正的教育.”在新一轮基础教育课程改革中，围绕培养学生数学核心素养这一目标，以“多维互动对话式教学”为手段，在互相尊重、平等的基础上进行知识、话语、思想、情感等方面的交流沟通，课堂成为对话与探究的舞台，学生的思维活动由表层数学知识转向数学思想方法的形成过程，实现学生数学思维的有效发展，使课堂成为学生终身发展的生长节点.

1.颜福进.课堂对话，为学生播撒思考的种子［J］.数学之友，2017（1）.

2.陈唐明.数学微课题研学 助推学生思维灵性发展［J］.教学与管理，2013（3）.F