狄利克雷积分的巧妙解法

沈明瑒 于倩 陶元红

摘要：由于狄利克雷积分不能通过求出原函数的方法直接得出积分结果，本文探讨前人运用其他学科知识的方法来快速巧妙地求解这个积分问题的方法，这些方法包括复变函数、概率论、拉普拉斯变换、数理方程、热学、脉冲函数中的方法。

关键词：狄利克雷积分；复变函数；拉普拉斯变换；傅氏积分

狄利克雷积分 是重要的数学积分，也是物理

学中有阻尼自由振动方程中常常用到的一个积分。本文将综合整理已有文献，详细介绍7种运用其他学科知识求解积分的方法。第一部分为运用复变函数中留数的相关知识求解积分；第二部分为运用其他数学学科包括概率论、拉普拉斯变换和傅氏积分的方法求解问题；第三部分为运用有关热传导和脉冲函数的物理知识求解问题。

一、围道积分法

求解狄利克雷积分最常用也是最简单的就是复变函数中的围道积分法，这种方法在钟玉泉著的《复变函数论》[1]和余家荣著的《复变函数》[2]中均提及。1.1中的围道积分法是最为普通的解法，1.2是刘光辉[3]研究的更为特殊的有关留数的围道积分法。

1.1大圆弧定理

引理1[1]：（1）设函数 沿半圆周 上连续，且 在 上一致成立，则 。

（2）设 沿圆弧 上连续，且 于 上一致成立，则有 。

狄利克雷积分的计算分析：

由于 ，由柯西积分定理有 ，或写成 ，由引理1知 ， ，令 ， ，则 ，所以 。

1.2留数定理

引理2当被积函数 是 的有理函数，且分母次数至少比分子次数高一次， 在实轴上除有限多个一级极点 处处解析，在上半平面 内除有限多个极点 外处处解析，则积分值 。

狄利克雷积分的计算分析：由引理2可知，计算 的虚部的 即可。

二、其他数学学科的方法

除了上文所述复变函数的方法外，我们还可以运用其他数学学科的知识。例如，2.1中所引用的概率论中分布函数与特征函数的有关定理，相关知识在王梓坤的《概率论基础及应用》中已有涉及，李西和又在该基础上延伸，得到了详细的求解积分的方法。2.2也为李西和在文章中提到的运用简单的拉普拉斯变换求解问题。2.3为刘光辉在姜尚礼《数理方程讲义》的基础上研究的满足狄氏条件的傅氏积分法。

2.1分布函数与特征函数关系

引理3若 ， ，则广义二重积分 存在，且 。

狄利克雷积分的计算分析：设 ， ，所以 ，而 ，对内层函数进行两次分部积分：

，故 ，所以 。

2.2拉普拉斯方程

，即 ，当 时，即有 ，则 。

2.3傅氏积分

引理4若 在 上满足条件：（1） 在任一有限区间上满足狄氏条件，即 连续或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点；（2）在无限区间 上绝对可积，即 ，则有 。

狄利克雷积分的计算分析：令 ，则 的傅氏积分为 ，可知 ， 时，有 。

三、结论

尽管运用基本的分析学思想是可以解决某些函数积分，但相比之下，复变函数的相关知识对于解决 就格外简单，其他方法对于解决这个问题也有着出人意料的巧妙之处。所以，运用其他学科领域的知识可以对解决数学问题有事半功倍的效果，这说明在学习中我们一定要注重学科的交叉和知识的融会贯通。希望这篇综合前人方法文章可以抛砖引玉，帮助大家解决积分上的问题，得到更多应用。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数（第四版）高等教育出版社，2012.

[2]余家荣.复变函数（第四版）高等教育出版社，2007.

第一作者简介：沈明瑒（1997--），女，本科生，数学与应用数学专业。

通讯作者简介：陶元红（1973--），女，博士，教授，主要從事泛函分析及应用方面的研究。