不单调三次函数图像中矩形性质的探究*

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(正始中学,浙江 宁波 315131) (宁波市教育局教研室,浙江 宁波 315000)

笔者在教学三次函数图像与性质时，想到如下问题：不单调的三次函数分别以两个极值点为切点作切线与三次函数图像有两个交点，以这两个交点为对角线构成的矩形与三次函数图像有什么关系?为了说明简便，令三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，由于对a>0与a<0的两种情况研究方式类似，因此本文只研究a>0的情形．

图1

1 预备知识

1.1 定义矩形

当三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)在R上不单调时，f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4(b2-3ac)>0，导函数有两个不相等的零点x1,x2(其中x10)的矩形．

1.2 简化形式

对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)进行配方，得

g(x)=ax3-c0x.

2 探究矩形的一些结论

定理1不单调的三次函数过两个极值点分别作切线与三次函数图像有两个交点，以这两个交点连接线段为对角线构成矩形，则两个极值点分别是这个矩形边上的四等分点．

图2

证明令三次函数g(x)=ax3-c0x(其中a>0,c0>0)．由

g′(x)= 3ax2-c0=

知

因为函数f(x)可由函数g(x)平移得到，所以两个函数的矩形大小相同，且对应点之间的比例关

系不变，于是

1)在不单调三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)中，由图2知xA,xM,xO,xN,xC成等差数列，令等差数列的公差为H，根据定理1易得

2)设不单调三次函数的中心坐标为P(x0,f(x0))，则f(x0-d)=f(x0+2d)均等于极大值，f(x0+d)=f(x0-2d)均等于极小值．

图3

推论1已知不单调的三次函数g(x)=ax3-c0x，如图3所示，过曲线上两个点M,N分别作切线与三次函数图像交于点A,C，且CM∥AN;过点A,C作竖线交切线于点B,D构成ABCD，则两个切点M,N分别是这个平行四边形边上的四等分点．

证明函数g(x)=ax3-c0x(其中a>0,c0>0)的图像如图3所示，则

g′(x)=3ax2-c0.

与g(x)=ax3-c0x联立，得

解得x=x0或x=-2x0，即xC=-2x0.由对称性可得xD=xA=2x0,易得M为DC的四等分点．又由对称性可知N为AB的四等分点，故两个切点M,N分别是这个……