义务教育阶段数学教学中常见的数学思想

董利军

（珲春市板石镇中学校 吉林珲春 133300）

新修订的《义务教育数学课程标准》中指出“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成和蕴含的数学思想方法”[1]。对教师的教学也提出了新的要求，指出“教师的教学应该使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验”[2]。这两句话无论从教学内容的设置上还是教学过程的实施上都强调了基础教育阶段数学思想培养的重要性。新课程标准把传统的“双基”扩充为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上增加了“基本的数学思想”和“基本的数学体验”。基础教育强调“数学思想”教学的意义是什么呢？日本数学家米山国藏的一段话能给我们一些启迪，他说“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使人终身受益”[3]。可见，数学思想是一种使人终生受益的世界观和方法论。是指导我们探究和解决数学问题的思维方式和办法。在基础教育过程中蕴含哪些常见的数学思想呢，本文做了一下简单的梳理。

一、数形结合思想

数与形是数学中的两个最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：借助于数的精确性来阐明形的某些属性，这种情形是“以数解形”;或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，这种情形是“以形助数”。

例如用图形的面积来验证平方差公式的正确性：

可以用下面图形的面积变形来表示。

这是典型的“以形助数”的例子。

数形结合的思想可以说是贯穿于数学教学的始终。利用线段图分析数量关系、数轴、统计图、图形计算等等都是“数”与“形”的结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。足见数形结合思想在数学教学中的重要性。

二、类比思想

类比是在借鉴的基础上产生的创造性的思维过程。他研究的是两个对象在某些方面相同或相似，从而推测出他们在其他方面也可能存在的相同或相似之处。这是学习数学新知一种常用的方法。

例如学习分式基本性质和计算时，可以类比小学阶段学习的分数的基本性质和计算法则来进行分式的基本性质和计算法则学习。学习二次根式的运算可以类比整式运算的计算法则进行。还有，我们经常会遇到一题多变的问题，通常也是运用类比的方法逐步来解决。

三、方程的思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，设未知数。然后寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

例如：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：这是一个实际问题，这类实际问题如果用算术方法解决数量关系非常复杂，很难解决。如果利用方程的思想，将江水的流速设为v km/h.依据轮船沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等为等量关系建立方程，数量关系就变得简单明晰多了。

即，依题意得，解得，v=6，问题得以解决。

方程的思想，即是用方程解决问题的应用，也是对方程概念本质的认识，是通过分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，建立方程模型的思维过程 。教学过程中要培养学生善用方程和方程组观点来观察处理问题。

四、分类讨论思想

任何一个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，解决这种类型的问题时，要把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

例如：圆与圆有怎样的位置关系？

分析：圆与圆有相离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）等多种位置关系，不同的位置关系时两圆的圆心距l与两圆半径R和r有不同的数量关系，用分类的方法更容易厘清这些关系：

①外离⇔l＞R+r； ②外切⇔l=R+r； ③相交⇔R－r＜l＜R+r；

④内切⇔l= R－r ; ⑤内含⇔ l＜R－r（当l=0时两圆为同心圆）。

如果再配合图表进行分类，条理就更清晰了。

分类讨论的数学思想在日常教学中运用的比较广泛。比如，常规判定三角形全等的方式有5种，在教学过程中要引导学生分类进行学习；商场为了促销采取不同的打折方式营销，你选择哪个商场消费更省钱这类问题也要分类讨论；进行复习的时候，我们通常也会采用分类进行专题复习等等，都是分类的思想在教学中的典型运用。分类讨论的思想能使复杂的问题条理化，将一些复杂的问题转化成若干简单的小问题，便于对问题的理解和解决。

五、化归思想

化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种数学手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。通常是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未知的问题通过变换转化为已知的问题等等。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗，未知化已知。它是转化和归结的简称。

例如：解方程：

分析：这是一个分式方程，学生在一开始接触解分式方程时，还不知道如何着手进行解答，教师要引导学生根据等式的基本性质通过去分母的方法把分式方程转化为含有括号的一元一次整式方程，再通过去括号法则将这个带括号的一元一次方程转化为不带括号的一元一次方程，这样逐级转化，化未知为已知，完成了解方程的过程，也掌握了分式方程的解法。

即：去分母转化为一元一次方程，，去括号转化为不带括号的一元一次方程，x+2=3解得，x=1

化归的实质就是以及事物之间相互联系，相互制约的观点出发，以运动变化发展的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。

六、整体思想

整体思想就是从问题的整体结构出发，突出对问题的整体结构的分析和研究，发现问题的整体结构特征，善于用“总体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体的一部分，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

例如，合并同类项（1）4（a+b）+2（a+b）-（a+b）；（2）3（x+y）2-7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y），解题的时候不要打开括号，而是把（a+b）和（x+y）看作一个整体来合并就比较简单了。

整体的思想通常在教学整理复习的时候运用的比较广泛，例如每一章章后小结的知识结构图，就是在本章的整体知识结构下来说明每个知识点在所处的地位、作用和各知识点之间的相互联系的，便于学生在整体上把握知识体系。与知识结构图相类似的还有知识树，也是从整体上梳理知识结构，体现了整体的数学思想。

七、函数的思想

函数的思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。具体来说，函数描述了自然界中数量之间的关系，刻画了两个变量之间的变化规律，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题。基础教育阶段常见的函数有一次函数、反比例函数、二次函数和三角函数。

综上所述，所有的数学思想都是培养学生分析问题和解决问题的策略。这些策略有的运用的比较广泛，比如数形结合的思想、转化的思想、分类的思想、类比的思想、方程的思想等，这些数学思想在一节课或一个学时的教学过程中反复多次运用或涉及。多数时候为解决一个问题会有几种思想策略综合运用的情况存在。有的策略运用的相对少些，比如整体的思想、函数的思想等。但不管这些数学思想在教育教学中运用的频繁与否，都应该潜移默化地植根于学生的思想中，成文他们思考问题和解决问题的一种行为方式，随时随地发生作用，使他们终身收益。

[1]义务教育数学课程标准(2011年版).[M].北京师范大学出版社.2012年1月.

[2]赵希斌.魅力课堂：高效与有趣的教学.[M].华东师范大学出版社.2013年6月.