极限中的辩证法

方宜

摘 要 变化与不变，近似与精确，看似对立，却在极限过程中达到统一。

关键词 极限 辩证法

中图分类号：G642 文献标识码：A

1数列极限的本质

（1）描述性定义：当数列的项数无限增大时，相应的项无限趋近于常数，则称常数是数列的极限，记作.

（2）定义：对于数列和常数，，正整数，使得当时，都有，则称常数是数列的极限，记作.

对于数列极限，无论是通俗易懂的描述性定义，还是逻辑严密的定义，叙述的都是同一个结论，数列极限的本质就是数列的项的变化趋势是无限接近于常数。

2极限中的量变与质变

隨着项数的增大，数列的项与常数接近的程度，在描述性定义中，用了“无限趋近于”这么一个模糊而又形象的描述。而在定义中，用表示数列的项与常数接近的程度。由于是任意给定的，表示数列的项与常数接近的程度可以人为控制，通俗地讲，只要数列的项数，（是根据不等式得到的，与有关的一个正整数。）数列的项与常数接近的程度就可以要多近就可以有多近。在一般情况下（常数列除外），无论数列的项数有多大，数列的项与常数始终有差距。即在过程中，数列的项与常数差距只有量变（差距越来越小），只有在终点（极限）才能产生质变（差距为0）。下面以一个例题进一步展示极限中蕴含的辩证法。

3实例

由上面的计算过程可以看出，越大，时间小段分得越多，的值越接近的值，但无论取多大的值，的值只能发生量变，与的误差永远无法消除。只有在趋向于无穷大对取极限时，与的误差才会消除，在取极限的过程中，的值才会产生质变，即

通过上面推导过程可以发现，因为变化导致难以计算。为了消除变化，我们用不变的值近似代替变化的值，因此产生了误差。虽然可以采用增加小时间段的数量，减小每段时间的间隔来减少变化，同时减少误差。即越来越大，时间间隔越来越小，但变化和误差始终存在，无法消除。变化和不变，近似值与精确值在计算过程中，只有量变，没有质变，始终对立，无法统一。只有在取极限时，在趋向于无穷大的过程中，从量变达到了质变。实现了变化与不变，近似与精确的矛盾统一。