解题与做题的艺术

2018-06-06 09:30:08 科教导刊·电子版 2018年6期

李迎立

摘 要 每一道数学题均有自己的特点,这个特点也决定了如何去解它,只要把握住特点,就能找到最简单的解题方法。笔者通过一些例子具体和大家阐述分析如何找到适合的解题方法。

关键词 特点 适合 条件

中图分类号:G633.41 文献标识码:A

1解题的艺术

以下面的解题为例:已知x,y满足如下约束条件,当目标函数Z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取得最小值2时,a2+b2最小值为_____

由约束条件和题中要求易得2a+b=2,此题最基本解法是二次函数方法:将b=2-2a代入a2+b2转化为求二次函数最小值,但太过麻烦,完全可由其特点找更简单的解法。

注意要求a2+b2最小值,应想到有如下的处理方法:①均值比等式≤②柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 转化为几何问题 转化为三角函数问题。

方法(1):(柯西不等式法)由(a2+b2)(22+12)≥(2a+b)2得a2+b2≥=4,验证等号成立条件即=时取等号,符合题意,则(a2+b2)min=4

方法(2):(幾何法)令y=a2+b2,因2a+b=2则y为点O(0,0)到直线2a+b-2=0的距离的平方。

方法(3):(三角函数法)令a=xsin ,b=xcos ,则x2=a2+b2,∵2xsin +xcos =2,∴2sin( + )=2(cos =,∴x=,则x2=a2+b2最小时即sin( + )最大,x最小==2,∴(a2+b2)min=4

由此可以看出,寻找题目的特点,根据特点寻找适当的解题方法是提高做题速度的不二法门。

2做题的艺术

对于某些选择题,完全可以不用解题而选出正确答案,甚至比你解题得出的答案还准确,而且可以大幅加快你做题的速度,关键只有一个字——代。下面举几个例子来说明:

例1:若关于X的不等式x2-ax-6a<0有解,且解区间长度不超过5个单位长度,则a的取值范围( )

A -25≤a<0 或1≤a<24 B -25≤a<-24或 0

C -25≤a≤0 D a≤-25或 a≥1

看到不等式有解,首先想到△≥0,只有“区间长度不超过5个单位长度”让很多同学摸不着头脑,没关系,△≥0解出后排除A,D两项,观察B,C 特点,一个有0,一个无0,代入a=0不符合题意,则选项中包含均错误,所以选B。

正规解法:

由于△≥0可设x2-ax-6a=0的两个解为x1,x2,则有

第二步不好想,而且难处理,用代入法可以明显加快速度,提高准确率。

例2:若关于的不等式(ax-20)lg≤0对任意正实数x恒成立,求实数a的取值范围( )

A [-10,10] B [-,] C (-∞,] D {}

这道题对于会做题的同学只要5秒钟,一看题为正实数,则a>0结束,选D

正规解法;令y1=ax-20,y2=lg,则y1过定点(,0),y2过定点y1y2≤0,则y1y2一直异号。要满足此条件,2a=,则a=,所以选D。

对于有些难思考,难解难算的题,我们要避其锋芒,用代入法,最难的题可能是最简单的题,但也要合理运用,正确解题才是正道。

(指导教师:常腊民)

参考文献

[1] 李来荣.对于初中数学解题技巧的探究[J].数学学习与研究,2014(12).

[2] 叶素红.初中数学解题技巧指导与运用探究[J].数理化解题研究(初中版),2014(12).